设 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列, $\left\{b_n\right\}$ 是等比数列, 且 $a_1=b_1=a_2-b_2=a_3-b_3=1$.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 设 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 求证: $\left(S_{n+1}+\right.$ $\left.a_{n+1}\right) b_n=S_{n+1} b_{n+1}-S_n b_n$ ；
(3) 求 $\sum_{k=1}^{2 n}\left[a_{k+1}-(-1)^k a_k\right] b_k$.