单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
曲线 $y=\frac{x^2+x}{x^2-1}$ 渐近线的条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $f(x)=\left(e^x-1\right)\left(e^{2 x}-2\right) \cdots\left(e^{n x}-n\right)$ ，其中 $n$为正整数，则 $f^{\prime}(0)=$
$\text{A.}$ $(-1)^{n-1}(n-1)$ !
$\text{B.}$ $(-1)^n(n-1)$ !
$\text{C.}$ $(-1)^{n-1} n$ !
$\text{D.}$ $(-1)^n n$ !
设 $a_n>0(n=1,2,3 \cdots)$ ，$S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n,$ 则数列 $\left\{S_n\right\}$ 有界是数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛的
$\text{A.}$ 充分必要条件
$\text{B.}$ 充分非必要条件
$\text{C.}$ 必要非充分条件
$\text{D.}$ 非充分也非必要条件
设 $I_k=\int_0^{k \pi} e^{x^2} \sin x \mathrm{~d} x(k=1,2,3)$ ，则有
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
$\text{C.}$ $I_2 < I_3 < I_1$
$\text{D.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
设函数 $f(x, y)$ 为可微函数，且对任意的 $x, y$ 都有
$$
\frac{\partial(x, y)}{\partial x}>0, \frac{\partial(x, y)}{\partial y} < 0,
$$
则使不等式 $f\left(x_1, y_1\right)>f\left(x_2, y_2\right)$ 成立的一个充分条件是
$\text{A.}$ $x_1>x_2, y_1 < y_2$
$\text{B.}$ $x_1>x_2, y_1>y_2$
$\text{C.}$ $x_1 < x_2, y_1 < y_2$
$\text{D.}$ $x_1 < x_2, y_1>y_2$
设区域 $D$ 由曲线 $y=\sin x, x= \pm \frac{\pi}{2}, y=1$ 围成，则 $\iint_D\left(x^5 y-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
$\text{A.}$ $\pi$
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ -2
$\text{D.}$ -$\pi$
设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ c_1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ c_2\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ c_3\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ c_4\end{array}\right)$ ，其中 $c_1, c_2, c_3, c_4$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$
$\text{D.}$ $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$
设 $A$ 为 3 阶矩阵， $P$ 为 3 阶可逆矩阵，且
$$
P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right),
$$
若 $P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right) ， Q=\left(\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ，则 $Q^{-1} A Q=$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $y=y(x)$ 是由方程 $x^2-y+1=e^y$ 所确定的隐函数，则 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x=0}=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{1+n^2}+\frac{1}{2^2+n^2}+\cdots+\frac{1}{n^2+n^2}\right)=$
设 $z=f\left(\ln x+\frac{1}{y}\right)$ ，其中函数 $f(u)$ 可微，则 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y^2 \frac{\partial z}{\partial y}=$
微分方程 $y \mathrm{~d} x+\left(x-3 y^2\right) \mathrm{d} y=0$ 满足条件 $\left.y\right|_{x=1}=1$的解为 $y=$
曲线 $y=x^2+x(x < 0)$ 上曲率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的点的坐标是
设 $A$ 为 3 阶矩阵， $|A|=3 ， A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若交换 $A$ 的第 1 行与第 2 行得矩阵 $B ，$ 则 $\left|B A^*\right|=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=\frac{1+x}{\sin x}-\frac{1}{x}$, 记 $a=\lim _{x \rightarrow 0} f(x)$ ，
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 若 $x \rightarrow 0$ 时， $f(x)-a$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小，求常数 $k$ 的值.
求函数 $f(x, y)=x e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}$ 的极值.
过点 $(0,1)$ 作曲线 $L: y=\ln x$ 的切线，切点为 $A$ ， 又 $L$与 $x$ 轴交于 $B$ 点，区域 $D$ 由 $L$ 与直线 $A B$ 围成，求区域 $D$ 的面积及 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积.
计算二重积分 $\iint_D x y \mathrm{~d} \sigma$ ，其中区域 $D$ 为曲线 $r=1+\cos \theta(0 \leq \theta \leq \pi)$ 与极轴围成。
已知函数 $f(x)$ 满足方程 $f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x)-2 f^{\prime}(x)=$ 原 $f^{\prime \prime}(x)+f(x)=2 e^x$,
(1) 求 $f(x)$ 的表达式;
(2) 求曲线 $y=f\left(x^2\right) \int_0^x f\left(-t^2\right) \mathrm{d} t$ 的拐点.
证明: $x \ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x \geq 1+\frac{x^2}{2}(-1 < x < 1)$.
(1) 证明方程 $x^n+x^{n-1}+\cdots+x=1$ ( $n$ 为大于 1 的整数) 在区间 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内有且仅有一个实根；
(2) 记(1)中的实根为 $x_n$, 证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在，并求此极限.
设 $A=\left(\begin{array}{llll}1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 0 & 0 & 1\end{array}\right) ， \beta=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$.
(1) 计算行列式 $|\boldsymbol{A}|$;
(2) 当实数 $a$ 为何值时，方程组 $A x=\beta$ 有无穷多解，并求其通解.
已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & a \\ 0 & a & -1\end{array}\right)$, 二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x^T\left(A^T A\right) x
$$
的秩为 2
(1) 求实数 $a$ 的值;
(2) 求正交变换 $x=Q y$ 将 $f$ 化为标准形.