设 $A=\left(\begin{array}{llll}1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 0 & 0 & 1\end{array}\right) ， \beta=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$.
(1) 计算行列式 $|\boldsymbol{A}|$;
(2) 当实数 $a$ 为何值时，方程组 $A x=\beta$ 有无穷多解，并求其通解.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$