1992年普通高等学校招生全国统一考试全国卷高考理科（含文科）数学真题及答案

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1992年普通高等学校招生全国统一考试全国卷高考理科（含文科）数学真题及答案

一、单选题（共 17 题），每题只有一个选项正确

\frac{\log_{8} 9}{\log_{2} 3}

的值是

A.

\frac{2}{3}

B.

C.

\frac{3}{2}

D.

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2. 如果函数

y = \sin (ω_{x}) \cos (ω_{x})

的最小正周期是

4 π

, 那么常数

ω

为

A.

B.

C.

\frac{1}{2}

D.

\frac{1}{4}

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3. 极坐标方程分别是

ρ = \cos θ

和

ρ = \sin θ

的两个圆的圆心距是

A.

B.

\sqrt{2}

C.

D.

\frac{\sqrt{2}}{2}

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4. 方程

\sin 4 x \cos 5 x = - \cos 4 x \sin 5 x

的一个解是

A.

10^{\circ}

B.

20^{\circ}

C.

50^{\circ}

D.

70^{\circ}

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5. 已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等, 则圆柱的全面积与球的表面积的比是

A.

6 : 5

B.

5 : 4

C.

4 : 3

D.

3 : 2

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6. 图中曲线是幂函数

y = x^{n}

在第一象限的图象. 已知

n

取

\pm 2, \pm \frac{1}{2}

四个值, 则相应于曲线

c 1 、 c 2 、 c 3 、 c 4

的

n

依次为

A.

- 2, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 2

B.

- 2, 2, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}

C.

2, - 2, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}

D.

\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2, - 2

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7. 若

\log_{a} 2 < logb 2 < 0

, 则

A.

0 < a < b < 1

B.

0 < b < a < 1

C.

a > b > 1

D.

b > a > 1

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8. 直线

{\begin{cases} x = t \sin 20^{\circ} + 3 \\ y = - t \sin 20^{\circ} \end{cases}

(

t

为参数) 的倾斜角是

A.

20^{\circ}

B.

70^{\circ}

C.

45^{\circ}

D.

135^{\circ}

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9. 在四棱锥的四个侧面中, 直角三角形最多可有

A.

1 个

B.

2 个

C.

3 个

D.

4 个

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10. 圆心在抛物线

y^{2} = 2 x

上, 且与

x

轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是

A.

x^{2} + y^{2} - x - 2 y - \frac{1}{4} = 0

B.

x^{2} + y^{2} + x - 2 y + 1 = 0

C.

x^{2} + y^{2} - x - 2 y + 1 = 0

D.

x^{2} + y^{2} - x - 2 y + \frac{1}{4} = 0

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11. 在

{(x^{2} + 3 x + 2)}^{5}

的展开式中 x 的系数为

A.

160

B.

240

C.

360

D.

800

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12. 已知直线

l_{1}

和

l_{2}

的夹角平分线为

y = x

, 如果

l_{1}

的方程是

a x + b y + c = 0

, 那么直线

l_{2}

的方程为

A.

b x + a y + c = 0

B.

a x - b y + c = 0

C.

b x + a y - c = 0

D.

b x - a y + c = 0

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13. 在棱长为 1 的正方体

A B C D - A_{1} B 1 C 1 D 1

中,

M

和

N

分别为

A 1 B 1

和

B B 1

的中点,那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是

A.

\frac{\sqrt{3}}{2}

B.

\frac{\sqrt{10}}{10}

C.

\frac{3}{5}

D.

\frac{2}{5}

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14. 已知复数

z

的模为 2 , 则

| z - i |

的最大值为

A.

B.

C.

\sqrt{5}

D.

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15. 函数

y = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

的反函数

A.

是奇函数,在

(0, + \infty)

上是减函数

B.

是偶函数,在

(0, + \infty)

上是减函数

C.

是奇函数,在

(0, + \infty)

上是增函数

D.

是偶函数,在

(0, + \infty)

上是增函数

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16. 如果函数

f (x) = x^{2} + b x + c

对任意实数 t 都有

f (2 + t) = f (2 - t)

，那么

A.

f (2) < f (1) < f (4)

B.

f (1) < f (2) < f (4)

C.

f (2) < f (4) < f (1)

D.

f (4) < f (2) < f (1)

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17. 长方体的全面积为 11 , 十二条棱长度之和为 24 , 则这个长方体的一条对角线长为

A.

2 \sqrt{3}

B.

\sqrt{14}

C.

D.

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二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

18. 方程

\frac{1 + 3^{- x}}{1 + 3^{x}} = 3

的解是

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19.

\sin 15^{\circ} \sin 75^{\circ}

的值是

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20. 21. (3 分) 设含有 10 个元素的集合的全部子集数为 S , 其中由 3 个元素组成的子集数为 T ,则

\frac{T}{S}

的值为

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21. 焦点为

F_{1} (- 2, 0)

和

F 2 (6, 0)

, 离心率为 2 的双曲线的方程是

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22. 已知等差数列

{a_{n}}

的公差

d \neq 0

, 且 a1, a3, a9 成等比数列, 则

\frac{a_{1} + a_{3} + a_{9}}{a_{2} + a_{4} + a_{10}}

的值是

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

23. 已知

z \in C

, 解方程

z \overset{―}{z} - 3 i \overset{―}{z} = 1 + 3 i

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24. 已知

\frac{π}{2} < β < α < \frac{3 π}{4}, \cos (α - β) = \frac{12}{13}, \sin (α + β) = - \frac{3}{5}

. 求

\sin 2 a

的值.

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25. 已知: 两条异面直线

a 、 b

所成的角为

θ

, 它们的公垂线段

A A_{1}

的长度为

d

. 在直线

a 、 b

上分别取点

E 、 F

, 设

A 1 E = m, A F = n

. 求证:

E F = \sqrt{d^{2} + m^{2} + n^{2} \pm 2 m n \cos θ}

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26. 设等差数列

{a_{n}}

的前

n

项和为 Sn . 已知

a 3 = 12, S 12 > 0, S 13 < 0

.
（1）求公差 d 的取值范围.
（2）指出

S_{1}, S 2, \dots, S 12

中哪一个值最大, 并说明理由.

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27. 已知椭圆

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0), A 、 B

是椭圆上的两点, 线段

A B

的垂直平分线与 x 轴相交于点

P (x 0, 0)

. 证明

- \frac{a^{2} - b^{2}}{a} < x_{0} < \frac{a^{2} - b^{2}}{a}

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28. 在

△ ABC

中, 已知

B C

边上的高所在直线的方程为

x - 2 y + 1 = 0, ∠ A

的平分线所在直线的方程为

y = 0

. 若点 B 的坐标为

(1, 2)

, 求点 C 的坐标.

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