单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0^{+}$时，与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是
$\text{A.}$ $1-e^{\sqrt{x}}$
$\text{B.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$
$\text{C.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，下列命题错误的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $f(0)=0$
$\text{B.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在，则 $f(0)=0$
$\text{C.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在
$\text{D.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在
连续函数 $y=f(x)$ 在区间 $[-3,-2] ，[2,3]$ 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间 $[-2,0] ，[0,2]$ 的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设 $F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ ，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $F(3)=-\frac{3}{4} F(-2)$
$\text{B.}$ $F(3)=-\frac{3}{4} F(-2)$
$\text{C.}$ $F(-3)=\frac{3}{4} F(2)$
$\text{D.}$ $F(-3)=-\frac{5}{4} F(-2)$
设函数 $f(x, y)$ 连续，则二次积分 $\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \mathrm{d} x \int_{\sin x}^1 f(x, y) \mathrm{d} y$等于
$\text{A.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\pi+\arcsin y}^\pi f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\pi-\arcsin y}^\pi f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi+\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{D.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi-\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$
设某商品的需求函数为 $Q=160-2 P$ ，其中 $Q, P$ 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1 ，则商品的价格是
$\text{A.}$ 10
$\text{B.}$ 20
$\text{C.}$ 30
$\text{D.}$ 40
曲线 $y=\frac{1}{x}+\ln \left(1+e^x\right)$ 渐近线的条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，则下列向量组线性相关的是
$\text{A.}$ $\alpha_1-\alpha_2, \alpha_2-\alpha_3, \alpha_3-\alpha_1$
$\text{B.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1$
$\text{C.}$ $\alpha_1-2 \alpha_2, \alpha_2-2 \alpha_3, \alpha_3-2 \alpha_1$
$\text{D.}$ $\alpha_1+2 \alpha_2, \alpha_2+2 \alpha_3, \alpha_3+2 \alpha_1$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A$ 与 $B
$\text{A.}$ 合同且相似
$\text{B.}$ 合同但不相似
$\text{C.}$ 不合同但相似.
$\text{D.}$ 既不合同，又不相似
某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 $p(0 < p < 1)$ ，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为
$\text{A.}$ $3 p(1-p)^2$
$\text{B.}$ $6 p(1-p)^2$
$\text{C.}$ $3 p^2(1-p)^2$
$\text{D.}$ $6 p^2(1-p)^2$
设随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，且 $X$ 与 $Y$ 不相关， $f_X(x), f_Y(y)$ 分别表示 $X ， Y$ 的概率密度，则在 $Y=y$ 的条件下， $X$ 的条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ 为
$\text{A.}$ $f_X(x)$
$\text{B.}$ $f_Y(y)$
$\text{C.}$ $f_X(x) f_Y(y)$
$\text{D.}$ $\frac{f_X(x)}{f_Y(y)}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^3+x^2+1}{2^x+x^3}(\sin x+\cos x)=$
设函数 $y=\frac{1}{2 x+3}$ ，则 $y^{(n)}(0)=$
设 $f(u, v)$ 是二元可微函数， $z=f\left(\frac{y}{x}, \frac{x}{y}\right)$ ，则 $x \frac{\partial z}{\partial x}-y \frac{\partial z}{\partial y}=$
微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{y}{x}-\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}\right)^3$ 满足 $\left.y\right|_{x=1}=1$ 的特解为 $y=$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A^3$ 的秩为
在区间 $(0,1)$ 中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于 $\frac{1}{2}$ 的概率为
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $y \ln y-x+y=0$ 确定，试判断曲线 $y=y(x)$ 在点 $(1,1)$ 附近的凹凸性.
设函数 $f(x)$ 具有连续的一阶导数，且满足
$$
f(x)=\int_0^x\left(x^2-t^2\right) f^{\prime}(t) \mathrm{d} t+x^2 ，
$$
求 $f(x)$ 的表达式.
设二元函数
$$
f(x, y)= \begin{cases}x^2, & |x|+|y| \leq 1 \\ \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & 1 < |x|+|y| \leq 2\end{cases}
$$
计算二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中
$$
D=\{(x, y)|| x|+| y \mid \leq 2\}
$$
设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上内二阶可导且存在相等的最大值，又 $f(a)=g(a) ， f(b)=g(b)$ ，证明:
(1) 存在 $\eta \in(a, b)$ ，使得 $f(\eta)=g(\eta)$ ；
(2) 存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=g^{\prime \prime}(\xi)$.
将函数 $f(x)=\frac{1}{x^2-3 x-4}$ 展开成 $x-1$ 的幂级数，并指出其收敛区间.
设线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3=0 \\
x_1+2 x_2+a x_3=0 \\
x_1+4 x_2+a^2 x_3=0
\end{array}\right.
$$
与方程组
$$
x_1+2 x_2+x_3=a-1
$$
有公共解，求 $a$ 的值及所有公共解.
设 3 阶对称矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda_1=1, \lambda_2=-2, \lambda_3=-2$ ，且 $\alpha_1=(1,-1,1)^T$ 是 $A$ 的属于 $\lambda_1$ 的一个特征向量，记 $B=A^5-4 A^3+E$ ，其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵.
(I) 验证 $\alpha_1$ 是矩阵 $B$ 的特征向量，并求 $B$ 的全部特征值与特征向量；
(ㅍ) 求矩阵 $B$.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}
2-x-y, 0 < x < 1,0 < y < 1 \\
0 \quad, \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
(I) 求 $P\{X>2 Y\}$ ；
(II) 求 $Z=X+Y$ 的概率密度 $f_Z(z)$.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 与 $\boldsymbol{Y}$ 独立同分布，且 $\boldsymbol{X}$ 的概率分布为
记 $U=\max \{X, Y\}, V=\min \{X, Y\}$. 求:
(1) $(U, V)$ 的概率分布;
(2) $\boldsymbol{U}$ 与 $\boldsymbol{V}$ 的协方差 $\operatorname{Cov}(\boldsymbol{U}, \boldsymbol{V})$.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)= \begin{cases}\frac{1}{2 \theta}, & 0 < x < \theta \\ \frac{1}{2(1-\theta)}, & \theta \leq x < 1 \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}
$$
其中参数 $\theta(0 < \theta < 1)$ 未知， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$的简单随机样本， $\bar{X}$ 是样本均值.
(I) 求参数 $\boldsymbol{\theta}$ 的矩估计量 $\hat{\boldsymbol{\theta}}$ ；
() 判断 $4 \bar{X}^2$ 是否为 $\theta^2$ 的无偏估计量，并说明理由