单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
下列矩阵中, 不能相似于对角矩阵的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{lll}1 & -2 & 1 \\ 2 & -4 & 2 \\ 1 & -2 & 1\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{D}=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 2 \\ 5 & -3 & 3 \\ -1 & 0 & -2\end{array}\right]$
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶方阵, 特征值为 $1,2,3$, 则 $|\boldsymbol{A}|$ 的元素 $a_{11}, a_{22}, a_{33}$ 的代数余子式 $A_{11}, A_{22}, A_{33}$的和 $\sum_{i=1}^3 A_{i i}=$
设 $\boldsymbol{A}$ 是 5 阶方阵, 满足 $\boldsymbol{A}^5=\boldsymbol{O}$. 则 $|\boldsymbol{A}+3 \boldsymbol{E}|=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]$; 的特征向量与特征值
求$\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$.特征值和特征向量.
设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有特征值 $\lambda$, 对应的特征向量为 $\xi$. 求 $k \boldsymbol{A}, \boldsymbol{A}^2, \boldsymbol{A}^k, f(\boldsymbol{A})$ 的特征值和特征向量, 其中 $f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_n x^n$.
$n$ 阶可逆矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有特征值 $\lambda$, 对应的特征向量为 $\xi$.
(1)证明 $\lambda \neq 0$;
(2)求 $\boldsymbol{A}^{-1}, \boldsymbol{A}^*, \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}^{-1}$ 的特征值和特征向量.
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, 且满足 $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}$ (此时 $\boldsymbol{A}$ 称为幂等矩阵).
(1)求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值可能的取值;
(2)证明: $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 是可逆矩阵.
证明: $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的任意两个不同特征值 $\lambda_1, \lambda_2$ 对应的两个特征向量线性无关.
设 $\lambda_1, \lambda_2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的两个不同的特征值, $\boldsymbol{\xi}$ 是对应于 $\lambda_1$ 的特征向量, 证明: $\boldsymbol{\xi}$ 不是 $\lambda_2$ 的特征向量(即一个特征向量不能属于两个不同的特征值).
已知 $\xi_1, \xi_2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的对应于 $\lambda$ 的特征向量, 问 $k_1 \xi_1+k_2 \xi_2$ ( $k_1, k_2$ 是任意常数) 是否属于 $\boldsymbol{A}$ 的对应于 $\lambda$ 的特征向量?
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵, 已知 $|\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}|=0,(3 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解, $\boldsymbol{E}-3 \boldsymbol{A}$ 不可逆, 问 $\boldsymbol{A}$ 是否相似于对角矩阵, 说明理由.