单选题 （共 9 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)=|x| \mathrm{e}^{-|x-1|}$, 则
$\text{A.}$ 函数 $f(x)$ 有 3 个极值点, 曲线 $y=f(x)$ 有 4 个拐点.
$\text{B.}$ 函数 $f(x)$ 有 3 个极值点, 曲线 $y=f(x)$ 有 2 个拐点.
$\text{C.}$ 函数 $f(x)$ 有 1 个极值点, 曲线 $y=f(x)$ 有 2 个拐点.
$\text{D.}$ 函数 $f(x)$ 有 1 个极值点, 曲线 $y=f(x)$ 有 4 个拐点.
已知平面区域 $D_1=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leqslant y \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right.\right\}, D_2=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leqslant x \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2}\right.\right\}$, $D_3=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant y \leqslant \pi\right.\right\}$, 记 $I_1=\iint_{D_1} \mathrm{e}^{-x^2} \sin y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_2=\iint_{D_2} \mathrm{e}^{-x^2} \sin y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, $I_3=\iint_{D_3} \mathrm{e}^{-x^2} \sin y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 则
$\text{A.}$ $I_3 < I_1 < I_2$.
$\text{B.}$ $I_3 < I_2 < I_1$.
$\text{C.}$ $I_1 < I_3 < I_2$.
$\text{D.}$ $I_1 < I_2 < I_3$.
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ -x, & 1 < x \leqslant 2,\end{array}\right.$ 的正弦级数与余弦级数的和函数分别为 $S_1(x)$ 与 $S_2(x)$ $(-\infty < x < +\infty)$, 则 $S_1(6)+S_2(-3)=$
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=4, \\ x^2+y^2=2 x\end{array}\right.$ 在点 $(1,1, \sqrt{2})$ 处的法平面方程为
$\text{A.}$ $\sqrt{2} x-y=0$.
$\text{B.}$ $\sqrt{2} x-z=0$.
$\text{C.}$ $\sqrt{2} x-y=\sqrt{2}-1$.
$\text{D.}$ $\sqrt{2} x-z=\sqrt{2}-1$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵, $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(2,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(1, a, 2)^{\mathrm{T}}$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=$ $\boldsymbol{b}$ 的解, 其中 $\boldsymbol{b}=(1,-2,1)^{\mathrm{T}}$, 则
$\text{A.}$ 当 $a=1$ 时, 有 $r(\boldsymbol{A})=1$.
$\text{B.}$ 当 $a=1$ 时,有 $r(\boldsymbol{A})=2$.
$\text{C.}$ 当 $a \neq 1$ 时, 有 $r(\boldsymbol{A})=1$.
$\text{D.}$ 当 $a \neq 1$ 时,有 $r(\boldsymbol{A})=2$.
设 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{r}-2 \\ 1 \\ -4\end{array}\right)$ 和 $\boldsymbol{\beta}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_2=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -2\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_3=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)$ 为 $\mathbb{R}^3$ 的两组基, 则 $\boldsymbol{\beta}_1$, $\boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 到 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 的过渡矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{rrr}5 & -4 & -6 \\ 1 & 0 & 1 \\ 10 & 8 & 11\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{rrr}5 & 1 & -10 \\ -4 & 0 & 8 \\ -6 & 1 & 11\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{15}{4} & \frac{7}{4} & \frac{9}{4} \\ -2 & 0 & -1\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{2} & \frac{15}{4} & -2 \\ \frac{3}{2} & \frac{7}{4} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{9}{4} & -1\end{array}\right)$.
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-|x|}, x \in(-\infty,+\infty)$, 则 $\max \{X, 1\}$ 的分布函数
$\text{A.}$ 是连续函数.
$\text{B.}$ 是阶梯函数.
$\text{C.}$ 只有一个间断点.
$\text{D.}$ 有两个间断点.
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 相互独立且均服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布, 则随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律的为
$\text{A.}$ $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$.
$\text{B.}$ $X_1+1, X_2+2, \cdots, X_n+n, \cdots$.
$\text{C.}$ $X_1, \frac{1}{2} X_2, \cdots, \frac{1}{n} X_n, \cdots$.
$\text{D.}$ $X_1, 2 X_2, \cdots, n X_n, \cdots$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_6$ 是来自 $[0,3]$ 上均匀分布总体的简单随机样本, 则 $\sum_{i=1}^1 X_i$ 与 $\sum_{j=3}^6 X_j$ 的相关系数为
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3 t}{1+t^3}, \\ y=\frac{3 t^2}{1+t^3}\end{array}\right.$ 确定, 则曲线 $y=y(x)$ 的斜渐近线方程为
极 限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{\sec \frac{1}{n}}{n+1}+\frac{\sec \frac{2}{n}}{\left(n^2+1\right)^{\frac{1}{2}}}+\cdots+\frac{\sec \frac{n}{n}}{\left(n^n+1\right)^{\frac{1}{n}}}\right]=$
微分方程 $\left(1+\mathrm{e}^{\frac{1}{y}}\right) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{\frac{1}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right) \mathrm{d} y=0$ 满足条件 $y(0)=1$ 的解为
设 $\Omega$ 是由锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与平面 $z=1$ 围成的锥体, 若其体密度为 $\rho=1$, 则 $\Omega$ 对 $z$ 轴的转动惯量 $I_z=$
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & -1 \\ 4 & 3 & 2 \\ -2 & 0 & 2\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{A}^5-3 \boldsymbol{A}^4=$
已知随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布, 则 $E\left[1+(-1)^x\right]=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $f(x)$ 为连续函数, 若积分 $\int_0^1[f(x)-x f(x t)] \mathrm{d} t$ 结果与 $x$ 无关, 且 $f(0)=1$, 求 $\int \frac{x f(x)}{\sqrt{f(x)-2}} \mathrm{~d} x$.
设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导, $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x} < 1$ 且 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x>\frac{1}{2}$. 证明：
(I) 存在 $\xi \in(0,+\infty)$, 使得 $f(\xi)=\xi$;
(II) 存在与 (I) 中 $\xi$ 相异的点 $\eta \in(0,+\infty)$, 使得 $f^{\prime}(\eta)=1$.
设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内收敛, 其和函数 $y(x)$ 满足 $x y^{\prime \prime}+(1+x) y^{\prime}+2 y=0$, $y(0)=-1, y^{\prime}(0)=2$.
( I ) 证明: $a_{n+1}=-\frac{(n+2)}{(n+1)^2} a_n, n=0,1, \cdots$;
(II) 求 $y(x)$ 的表达式.
设 $\Sigma$ 为曲面 $x^2+y^2+z^2=1(z \geqslant 0)$ 的上侧, 连续函数 $f(x, y)$ 满足 $f(x, y)=2(x-y)^2+$ $\iint_{\Sigma} x\left(z^2+\mathrm{e}^z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y\left(z^2+\mathrm{e}^z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left[z f(x, y)-2 \mathrm{e}^z\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 求 $\iint_{\Sigma} f(x, y) \mathrm{d} S$.
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & -a_3\end{array}\right)$.
( I ) 证明 $\boldsymbol{\alpha}=\left(1, \lambda_0, \lambda_0^2, \lambda_0^3\right)^{\mathrm{T}}$ 是特征值 $\lambda_0$ 对应的特征向量；
(II) 若 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的互不相同的特征值,求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}$ 为对角矩阵.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D=\{(x, y)|| x+y|\leqslant 1| x-y \mid, \leqslant 1\}$ 上服从均匀分布, 求:
$(I)(X, Y)$ 的边缘概率密度 $f_X(x), f_Y(y)$;
(II) $Z=X+Y$ 的概率密度 $f_Z(z)$;
(III) $P\left\{\left.|Y| \leqslant \frac{1}{2}|| X \right\rvert\, \leqslant \frac{1}{2}\right\}$.