浙江省金丽衢十二校2023-2024学年高三下学期第二次联考数学试题

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浙江省金丽衢十二校2023-2024学年高三下学期第二次联考数学试题

一、单选题（共 2 题），每题只有一个选项正确

1. 已知集合

A = {0, 1, 2}, B = {x ∣ x = 3 k - 1, k \in N}

, 则

A \cap B =

A.

{0, 1, 2}

B.

{1, 2}

C.

{1}

D.

{2}

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2. 若复数

z

满足:

z + 2 \bar{z} = 3 - 2 i

, 则

| z |

为

A.

B.

\sqrt{2}

C.

\sqrt{5}

D.

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二、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

3. 已知等差数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 且

2 S_{n} = 2 a_{n} + n^{2} - 1

.
(1) 求

a_{n}

;
(2) 求数列

{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}

的前

n

项和

T_{n}

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4. 如图, 在四棱椎

P - A B C D

中, 四边形

A B C D

是边长为 2 的正方形, 平面

P A D ⊥

平面

A B C D

P A = P D = \sqrt{5}

, 点

E

是线段

A D

的中点,

\vec{C M} = 2 \vec{M P}

.
(1) 证明:

P E / /

平面

B D M

;
(2) 求平面

A M B

与平面

B D M

的夹角.

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5. 某工厂生产某种元件, 其质量按测试指标划分为: 指标大于或等于 82 为合格品, 小于 82 为次品, 现抽取这种元件 100 件进行检测, 检测结果统计如下表:

(1) 现从这 100 件样品中随机抽取 2 件, 若其中一件为合格品, 求另一件也为合格品的概率;
(2) 关于随机变量, 俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式:
若随机变量

X

具有数学期望

E (X) = μ

, 方差

D (X) = σ^{2}

, 则对任意正数

ε

, 均有

P (| x - μ | \geq ε) \leq \frac{σ^{2}}{ε^{2}}

成立.
(i) 若

X \sim B (100, \frac{1}{2})

, 证明:

P (0 \leq X \leq 25) \leq \frac{1}{50}

;
(ii) 利用该结论表示即使分布未知, 随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为

90 %

, 那么根据所给样本数据, 请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信? (注: 当随机事件

A

发生的概率小于 0.05 时, 可称事件

A

为小概率事件)

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6. 已知椭圆

L : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0) |

的左项点

A (- 3, 0)

和下顶点

B

, 焦距为

4 \sqrt{2}

, 直线

l

交椭圆

L

于

C, D

(不同于椭圆的顶点）两点，直线

A D

交

y

轴于

M

, 直线

B C

交

x

轴于

N

, 且直线

M N

交

l

于

P

.
(1) 求椭圆

L

的标准方程;
(2) 若直线

A D, B C

的斜率相等, 证明: 点

P

在一条定直线上运动.

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7. ①在微积分中, 求极限有一种重要的数学工具一洛必达法则, 法则中有结论: 若函数

f (x), g (x)

的导函数分别为

f^{'} (x), g^{'} (x)

, 且

lim_{x \to a} f (x) = lim_{x \to a} g (x) = 0

, 则

lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to a} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}

.
②设

a > 0, k

是大于 1 的正整数, 若函数

f (x)

满足: 对任意

x \in [0, a]

, 均有

f (x) \geq f (\frac{x}{k})

成立, 且

lim_{x \to 0} f (x) = 0

, 则称函数

f (x)

为区间

[0, a]

上的

k

阶无穷递降函数.
结合以上两个信息, 回答下列问题:
(1) 试判断

f (x) = x^{3} - 3 x

是否为区间

[0, 3]

上的 2 阶无穷递降函数;
(2) 计算:

lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}

;
(3) 证明:

{(\frac{\sin x}{x - π})}^{3} < \cos x, x \in (π, \frac{3}{2} π)

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