已知椭圆 $L: \left.\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) \right\rvert\,$ 的左项点 $A(-3,0)$ 和下顶点 $B$, 焦距为 $4 \sqrt{2}$, 直线 $l$ 交椭圆 $L$ 于 $C, D$ (不同于椭圆的顶点）两点，直线 $A D$ 交 $y$ 轴于 $M$, 直线 $B C$ 交 $x$ 轴于 $N$, 且直线 $M N$ 交 $l$ 于 $P$.
(1) 求椭圆 $L$ 的标准方程;
(2) 若直线 $A D, B C$ 的斜率相等, 证明: 点 $P$ 在一条定直线上运动.