江苏南通如皋市2024届高三2月诊断测试

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江苏南通如皋市2024届高三2月诊断测试

一、多选题（共 1 题），每题有多个选项正确

1. 定义在

[0, 1]

上的函数

f (x)

满足:

\forall x \in [0, 1], f (1 - x) + f (x) = 1

, 且

f (\frac{x}{3}) = \frac{1}{2} f (x), f (0) = 0

, 当

0 \leq x_{1} < x_{2} \leq 1

时,

f (x_{1}) \leq f (x_{2})

, 则

A.

f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}

B.

f (1) = \frac{1}{2}

C.

f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{2}

D.

f (\frac{\ln 3}{3}) = \frac{1}{2}

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二、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

2. 已知函数

f (x) = a x^{2} - x - \ln x

, 其中

a \in R

.
(1) 若

a = 1

, 求

f (x)

的极值
(2) 是否存在实数

a

, 使

f (x)

在

(0, 1)

内单调? 若存在, 求出

a

的取值范围; 若不存在, 请说明理由:

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3. 如图, 圆柱上, 下底面圆的圆心分别为

O, O_{1}

, 该圆柱的轴截面为正方形, 三棱柱

A B C - A_{1} B_{1} C_{1}

的三条侧棱均为圆柱的母线, 且

A B = A C = \frac{\sqrt{30}}{6} O O_{1}

, 点

P

在轴

O O_{1}

上运动.

(1) 证明: 不论

P

在何处, 总有

B C ⊥ P A_{1}

;
(2) 当

P

为

O O_{1}

的中点时, 求平面

A_{1} P B

与平面

B_{1} P B

夹角的余弦值.

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4. 如图, 小华和小明两个小伙伴在一起做游戏, 他们通过划拳 (剪刀、石头、布) 比赛决胜谁首先登上第 3 个台阶, 他们规定从平地开始, 每次划拳赢的一方登上一级台阶, 输的一方原地不动, 平局时两个人都上一级台阶, 如果一方连续两次赢, 那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励, 除非已经登上第 3 个台阶, 当有任何一方登上第 3 个台阶时, 游戏结束, 记此时两个小伙伴划拳的次数为

X

.
(1) 求游戏结束时小华在第 2 个台阶的概率;
(2) 求

X

的分布列和数学期望.

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5. 已知椭圆

C_{1} : \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1

与椭圆

C_{2}

有相同的离心率, 椭圆

C_{2}

焦点在

y

轴上且经过点

(1, \sqrt{2})

.
(1) 求椭圆

C_{2}

的标准方程;
(2) 设

A

为椭圆

C_{1}

的上顶点, 经过原点的直线

l

交椭圆

C_{2}

于

P 、 Q

, 直线

A P 、 A Q

与椭圆

C_{1}

的另一

个交点分别为点

M

和

N

, 若

△ A M N

与

△ A P Q

的面积分别为

S_{1}

和

S_{2}

, 求

\frac{S_{1}}{S_{2}}

的取值范围.

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6. 设正整数

n \geq 3

, 有穷数列

{a_{n}}

满足

a_{i} > 0 (i = 1, 2, \dots, n)

, 且

a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = n

, 定义积值

S = a_{1} \cdot a_{2} \dots \dots a_{n}

.
(1) 若

n = 3

时, 数列

{\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}}

与数列

{\frac{1}{6}, \frac{2}{3}, \frac{13}{6}}

的

S

的值分别为

S_{1}, S_{2}

.
(1)试比较

S_{1}

与

S_{2}

的大小关系;
(2) 若数列

{a_{n}}

的

S

满足

min {S_{1}, S_{2}} < S < max {S_{1}, S_{2}}

, 请写出一个满足条件的

{a_{n}}

;
(2) 若

n = 4

时, 数列

{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}}

存在

i, j \in {1, 2, 3, 4}

, 使得

a_{i} < 1 < a_{j}

, 将

a_{i}, a_{j}

分别调整为

a_{i}^{'} = a_{i} + a_{j} - 1, a_{j}^{'} = 1

, 其它 2 个

a_{k} (k \neq i, j)

, 令

a_{k}^{'} = a_{k}

. 数列

{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}}

调整前后的积值分别为

S, S^{'}

,写出

S, S^{'}

的大小关系并给出证明:
(3) 求

S = a_{1} \cdot a_{2} \dots \dots a_{n}

的最大值, 并确定

S

取最大值时

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}

所满足的条件, 并进行证明.

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