如图, 圆柱上, 下底面圆的圆心分别为 $O, O_1$, 该圆柱的轴截面为正方形, 三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 的三条侧棱均为圆柱的母线, 且 $A B=A C=\frac{\sqrt{30}}{6} O O_1$, 点 $P$ 在轴 $O O_1$ 上运动.
(1) 证明: 不论 $P$ 在何处, 总有 $B C \perp P A_1$;
(2) 当 $P$ 为 $O O_1$ 的中点时, 求平面 $A_1 P B$ 与平面 $B_1 P B$ 夹角的余弦值.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$