已知椭圆 $C_1: \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$ 与椭圆 $C_2$ 有相同的离心率, 椭圆 $C_2$ 焦点在 $y$ 轴上且经过点 $(1, \sqrt{2})$.
(1) 求椭圆 $C_2$ 的标准方程;
(2) 设 $A$ 为椭圆 $C_1$ 的上顶点, 经过原点的直线 $l$ 交椭圆 $C_2$ 于 $P 、 Q$, 直线 $A P 、 A Q$ 与椭圆 $C_1$ 的另一

个交点分别为点 $M$ 和 $N$, 若 $\triangle A M N$ 与 $\triangle A P Q$ 的面积分别为 $S_1$ 和 $S_2$, 求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的取值范围.