设正整数 $n \geq 3$, 有穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_i>0(i=1,2, \cdots, n)$, 且 $a_1+a_2+\cdots+a_n=n$, 定义积值 $S=a_1 \cdot a_2 \cdots \cdots a_n$.
(1) 若 $n=3$ 时, 数列 $\left\{\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}\right\}$ 与数列 $\left\{\frac{1}{6}, \frac{2}{3}, \frac{13}{6}\right\}$ 的 $S$ 的值分别为 $S_1, S_2$.
(1)试比较 $S_1$ 与 $S_2$ 的大小关系;
(2) 若数列 $\left\{a_n\right\}$ 的 $S$ 满足 $\min \left\{S_1, S_2\right\} < S < \max \left\{S_1, S_2\right\}$, 请写出一个满足条件的 $\left\{a_n\right\}$;
(2) 若 $n=4$ 时, 数列 $\left\{a_1, a_2, a_3, a_4\right\}$ 存在 $i, j \in\{1,2,3,4\}$, 使得 $a_i < 1 < a_j$, 将 $a_i, a_j$ 分别调整为 $a_i^{\prime}=a_i+a_j-1, a_j^{\prime}=1$, 其它 2 个 $a_k(k \neq i, j)$, 令 $a_k^{\prime}=a_k$. 数列 $\left\{a_1, a_2, a_3, a_4\right\}$ 调整前后的积值分别为 $S, S^{\prime}$,写出 $S, S^{\prime}$ 的大小关系并给出证明:
(3) 求 $S=a_1 \cdot a_2 \cdots \cdots a_n$ 的最大值, 并确定 $S$ 取最大值时 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 所满足的条件, 并进行证明.