2021 年全国中学生数学奥林匹克竞赛 (初赛)二试 (A 卷) 参考答案及评分标准

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2021 年全国中学生数学奥林匹克竞赛 (初赛)二试 (A 卷) 参考答案及评分标准

一、填空题（共 8 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 设实数

a

满足

a < 9 a^{3} - 11 a < | a |

, 则

a

的取值范围是

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2. 设复数

z, w

满足

| z | = 3, (z + \bar{w}) (\bar{z} - w) = 7 + 4 i

, 其中

i

是虚数单位,

\bar{z}, \bar{w}

分别表示

z, w

的共轭复数, 则

(z + 2 \bar{w}) (\bar{z} - 2 w)

的模为

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3. 正实数

u, v, w

均不等于 1, 若

\log_{w} v w + \log_{v} w = 5, \log_{v} u + \log_{w} v = 3

, 则

\log_{n} u

的值为

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4. 已知

f (x)

是

R

上的奇函数,

f (1) = 1

, 且对任意

x < 0

,均有

f (\frac{x}{x - 1}) = x f (x)

.
求

f (1) f (\frac{1}{100}) + f (\frac{1}{2}) f (\frac{1}{99}) + f (\frac{1}{3}) f (\frac{1}{98}) + \dots + f (\frac{1}{50}) f (\frac{1}{51})

的值.

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5. 已知复数

z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}

满足

{| z_{1} |}^{2} + {| z_{2} |}^{2} = {| z_{3} |}^{2} + {| z_{4} |}^{2} = 4

, 且

z_{1} \overset{―}{z_{3}} + z_{2} \overset{―}{z_{4}} = 0

,则

| z_{1} z_{4} - z_{2} z_{3} | =

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6. 将一枚骰子连续投掷五次, 则事件 “五次出现的点数既不全相同, 也不两两互异, 且从第二次起每一次的点数都不小于前一次的点数” 的概率为

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7. 已知

p (x)

为 5 次多项式。若

x = 0

为

p (x) + 1 = 0

的三重根,

x = 1

为

p (x) - 1 = 0

三重根, 则

p (x)

的表达式为

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8. 把与 143 互质的全体正整数按从小到大排列成一个数列, 则该数列的第 2022 项为

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二、解答题（共 3 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

9. 给定正整数

k (k \geq 2)

与

k

个非零实数

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}

. 证明: 至多有有限个

k

元正整数组

(n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k})

, 满足

n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}

互不相同, 且

a_{1} \cdot n_{1}! + a_{2} \cdot n_{2}! + \dots + a_{k} \cdot n_{k}! = 0 .

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10. 已知

x, y, z

为正实数, 且满足

x^{\lg x} y^{\lg y} z^{\lg z} = 5, x^{\lg y z} y^{\lg z x} z^{\lg x y} = 2

, 则

x y z =

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11. 设实数

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{2016}

满足

9 a_{i} > 11 a_{i + 1}^{2} (i = 1, 2, \dots, 2015)

.求

(a_{1} - a_{2}^{2}) \cdot (a_{2} - a_{3}^{2}) \dots \dots (a_{2015} - a_{2016}^{2}) \cdot (a_{2016} - a_{1}^{2})

的最大值.

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