填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设实数 $a$ 满足 $a < 9 a^3-11 a < |a|$, 则 $a$ 的取值范围是
设复数 $z, w$ 满足 $|z|=3,(z+\bar{w})(\bar{z}-w)=7+4 \mathrm{i}$, 其中 $\mathrm{i}$ 是虚数单位, $\bar{z}, \bar{w}$ 分别表示 $z, w$ 的共轭复数, 则 $(z+2 \bar{w})(\bar{z}-2 w)$ 的模为
正实数 $u, v, w$ 均不等于 1, 若 $\log _w v w+\log _v w=5, \log _v u+\log _w v=3$, 则 $\log _n u$ 的值为
已知 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的奇函数, $f(1)=1$, 且对任意 $x < 0$,均有 $f\left(\frac{x}{x-1}\right)=x f(x)$.
求 $f(1) f\left(\frac{1}{100}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right) f\left(\frac{1}{99}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right) f\left(\frac{1}{98}\right)+\cdots+f\left(\frac{1}{50}\right) f\left(\frac{1}{51}\right)$ 的值.
已知复数 $z_1, z_2, z_3, z_4$ 满足 $\left|z_1\right|^2+\left|z_2\right|^2=\left|z_3\right|^2+\left|z_4\right|^2=4$, 且 $z_1 \overline{z_3}+z_2 \overline{z_4}=0$,则 $\left|z_1 z_4-z_2 z_3\right|=$
将一枚骰子连续投掷五次, 则事件 “五次出现的点数既不全相同, 也不两两互异, 且从第二次起每一次的点数都不小于前一次的点数” 的概率为
已知 $p(x)$ 为 5 次多项式。若 $x=0$ 为 $p(x)+1=0$ 的三重根, $x=1$ 为 $p(x)-1=0$ 三重根, 则 $p(x)$ 的表达式为
把与 143 互质的全体正整数按从小到大排列成一个数列, 则该数列的第 2022 项为
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
给定正整数 $k(k \geq 2)$ 与 $k$ 个非零实数 $a_1, a_2, \cdots, a_k$. 证明: 至多有有限个 $k$ 元正整数组 $\left(n_1, n_2, \cdots, n_k\right)$, 满足 $n_1, n_2, \cdots, n_k$ 互不相同, 且
$$
a_1 \cdot n_{1} !+a_2 \cdot n_{2} !+\cdots+a_k \cdot n_{k} !=0 \text {. }
$$
已知 $x, y, z$ 为正实数, 且满足 $x^{\lg x} y^{\lg y} z^{\lg z}=5, x^{\lg y z} y^{\lg z x} z^{\lg x y}=2$, 则 $x y z=$
设实数 $a_1, a_2, \cdots, a_{2016}$ 满足 $9 a_i>11 a_{i+1}^2(i=1,2, \cdots, 2015)$.求 $\left(a_1-a_2^2\right) \cdot\left(a_2-a_3^2\right) \cdots \cdots\left(a_{2015}-a_{2016}^2\right) \cdot\left(a_{2016}-a_1^2\right)$ 的最大值.