已知 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的奇函数, $f(1)=1$, 且对任意 $x < 0$,均有 $f\left(\frac{x}{x-1}\right)=x f(x)$.
求 $f(1) f\left(\frac{1}{100}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right) f\left(\frac{1}{99}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right) f\left(\frac{1}{98}\right)+\cdots+f\left(\frac{1}{50}\right) f\left(\frac{1}{51}\right)$ 的值.