初中数学竞赛试题（不等式）精选

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初中数学竞赛试题（不等式）精选

一、解答题（共 15 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 设正数

x, y, z

满足

2 x + 2 y + z = 1

, 求

3 x y + y z + z x

的最大值.

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2. 已知

a, b, c

为三个正实数, 求证:

\sqrt{\frac{2}{3} + \frac{a b c}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}} + \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{a b + b c + c a}} \geq 2 .

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3. 问题: 设

a, b, c, d \in R^{+}, a b c d = 1

, 求证:

\frac{1}{\sqrt{a b c + b c + c}} + \frac{1}{\sqrt{b c d + c d + d}} + \frac{1}{\sqrt{c d a + d a + a}} + \frac{1}{\sqrt{d a b + a b + b}} 2 .

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4. 已知正整数

x

满足

{\frac{x}{3}} + {\frac{x}{5}} + {\frac{x}{7}} + {\frac{x}{11}} = \frac{248}{165}

,求

\frac{2 x}{3} + \frac{2 x}{5} + \frac{2 x}{7} + \frac{2 x}{11}

的所有可能值.

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5. 已知正数

a, b, c, d

满足

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = 4

, 求证:

\frac{a}{1 + a + a b + a b c} + \frac{b}{1 + b + b c + b c d} + \frac{c}{1 + c + c d + c d a} + \frac{d}{1 + d + d a + d a b} \leq 1 .

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6. 已知

a, b, c > 0

, 求证:

\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{a b + b c + c a} \geq \frac{1}{8} (1 + \frac{2 a}{b + c}) (1 + \frac{2 b}{c + a}) (1 + \frac{2 c}{a + b}) \geq 1 .

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7. 在实数范围内, 解方程:

\sqrt{10 + x} + \sqrt{7 - x} = 5

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8. 在实数范围内, 解方程:

\sqrt[4]{10 + x} + \sqrt[4]{7 - x} = 3

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9. 已知

a^{2} + 2 a b - b^{2} = 1

, 求

a^{2} + b^{2}

的最小值为

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10. 已知正实数

x, y

满足

x y^{2} (x + y) = 4

, 求

2 x + y

的最小值.

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11. 设

a, b, c

是实数, 且满足

a b c + a + b + c = a b + b c +

c a + 5

.
求表达式

a^{2} + b^{2} + c^{2}

的最小值.

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12. 设

a, b, c

是

△ A B C

的三边长, 求证:

\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} < 2 .

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13. 设

△ A B C

的三边长

a, b, c

彼此不等, 且

\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}

. 求证:

∠ B

是锐角.

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14. 将正整数列中删除所有完全平方数, 得到数列

{a_{n}} : 2, 3, 5, 7, 8, \dots

, 求证:

| a_{n} - n - \sqrt{n} | < \frac{1}{2}, \forall n \in N^{*} .

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15. 设正实数

a, b, c, d

满足

\frac{a b}{c d} = \frac{a + b}{c + d}

, 求证:

(a + b) (c + d) \geq (a + c) (b + d) .

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