湖北省恩施州恩施市七里中学八年级 (下) 月考数学试卷

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湖北省恩施州恩施市七里中学八年级 (下) 月考数学试卷

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 式子

\frac{\sqrt{2 x + 1}}{x - 1}

有意义的

x

取值范围是

A.

x \neq 1

B.

x \geq - \frac{1}{2}

C.

x \geq - \frac{1}{2}

且

x \neq 1

D.

x > - \frac{1}{2}

且

x \neq 1

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2. 在二次根式

2 \sqrt{x y}, \sqrt{8}, \sqrt{\frac{x}{2}}, \sqrt{2 x^{2}}

中, 最简二次根式的个数

A.

B.

C.

D.

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3. 如图, 已知正方形的边长为单位长度, 以表示数 1 的点为圆心, 正方形对角线长为半径画弧, 交数轴于点

A

, 则点

A

表示的数是

A.

- \frac{1}{2}

B.

- \frac{1}{3}

C.

1 - \sqrt{3}

D.

1 - \sqrt{2}

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4. 化简

\sqrt{4 x^{2} - 4 x + 1} - (\sqrt{2 x - 3})^{2}

得

A.

2

B.

- 4 x + 4

C.

- 2

D.

4 x - 4

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5. 如图所示,

◻ A B C D

中, 对角线

A C, B D

交于点

O, E

是

C D

中点, 连接

O E

, 若

O E = 3 cm

, 则

A D

的长为

A.

3 cm

B.

6 cm

C.

9 cm

D.

12 cm

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6. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理, 是我国古代数学的骄傲. 如图所示的“赵爽弦图” 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形. 设直角三角形较长直角边长为

a

, 较短直角边长为

b

. 若

a b = 6

, 大正方形的面积为 16 , 则小正方形的面积为

A.

B.

C.

D.

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7. 如图, 山坡

A B

的高

B C

为

5 cm

, 水平距离

A C

为

12 m

, 若在山坡上每隔

0.65 m

栽一棵树, 则从上到下共栽树 (山顶, 山脚均要栽)

A.

19棵

B.

20棵

C.

21棵

D.

22棵

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8. 已知

a = \sqrt{3} - \sqrt{2}, b = \sqrt{3} + \sqrt{2}

, 那么

a

与

b

的关系为

A.

互为相反数

B.

互为倒数

C.

相等

D.

a

是

b

的平方根

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9. 在直线

l

上依次摆着几个正方形 (如图), 已知斜放的三个正方形的面积分别为

1, 2, 3

, 正放的四个正方形的面积分别是

S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}

, 则

S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4}

等于

A.

B.

C.

D.

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10.

△ A B C

的三边分别为

a, b, c

, 下列条件能推出

△ A B C

是直角三角形的有
(1)

a^{2} - c^{2} = b^{2}

；
(2)

(a - b) (a + b) + c^{2} = 0

;
(3)

∠ A = ∠ B - ∠ C

;
(4)

∠ A : ∠ B : ∠ C = 1 : 2 : 3

;
(5)

a = \frac{1}{3}, b = \frac{1}{4}, c = \frac{1}{5}

;
(6)

a = 1

0, b = 24, c = 26

A.

2个

B.

3个

C.

4个

D.

5个

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二、填空题（共 8 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 已知

\sqrt{- \frac{1}{m}}

有意义, 那么点

(m, \sqrt{- m})

在平面直角坐标系中的第 ________ 象限.

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12. 如图, 在平行四边形

A B C D

中,

A B = \sqrt{13}, A D = 4

, 将其沿

A E

翻折后, 点

B

恰好与点

C

重合, 则折痕

A E

的长为

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13. 已知命题：“如果两个三角形全等, 那么这两个三角形的面积相等. ” 写出它的逆命题: ________ , 该逆命题是 ________ 命题

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14. 如图,

D

是

△ A B C

内一点,

B D ⊥ C D, A D = 7, B D = 4, C D = 3, E 、 F 、 G 、 H

分别是

A B 、 A C 、 C

D 、 B D

的中点, 则四边形

E F G H

的周长是

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15. 已知直线

a / / b

, 若直线

a

上的一点

A

到直线

b

的距离为

2 cm

, 则直线

b

上一点

B

到直线

a

的距离是

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16. 如果最简二次根式

\sqrt{1 + a}

与

\sqrt{2 a - 3}

可以合并, 那么

a =

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17. 如图所示, 一艘轮船在小岛

A

的北偏东

60^{\circ}

方向距小岛 80 海里的

B

处, 沿正西方向航行 3 小时后到达位于小岛北偏西

45^{\circ}

方向的

C

处, 则轮船行驶的速度为 ________ 海里/小时.

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18. 如图, 已知等边三角形

A B C

的边长为

8, P

是

△ A B C

内一点,

P D / / A C, P E / / A B, P F / / B C

, 点

D

E, F

分别在

A B, B C, A C

上, 则

P D + P E + P F =

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

19. 计算:
( 1)

(\frac{1}{3} \sqrt{27} - \sqrt{24} - 3 \sqrt{\frac{2}{3}}) \div \sqrt{12}

.
(2)

\sqrt{30} \times \frac{3}{2} \sqrt{2 \frac{2}{3}} \div 2 \sqrt{2 \frac{1}{2}}

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20. 已知

a = 3 + \sqrt{2}, b = 3 - \sqrt{2}

, 分别求下列代数式的值:
(1)

a^{2} - b^{2}

;
(2)

a^{2} b + a b^{2}

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21. 如图, 一架梯子长

A C = 2.5

米, 斜靠在一面墙上, 梯子底端与墙的距离

B C = 0.7

米.
(1) 这个梯子的顶端距地面有多高?
(2) 如果这个梯子的顶端下滑了 0.4 米至

A^{'}

处, 那梯子的底部在水平方向也滑动了 0.4 米吗?

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22. 观察下列运算过程:

\begin{aligned} \frac{1}{1 + \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^{2} - 1^{2}} = \sqrt{2} - 1 \\ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^{2} - (\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2} \end{aligned}

请运用上面的运算方法计算:

\frac{1}{1 + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2015} + \sqrt{2017}} + \frac{1}{\sqrt{2017} + \sqrt{2019}} =

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23. 如图, 有一个圆柱形无盖油罐, 它的底面周长为 24 米, 高为 6 米, 一只老鼠从距底面 1 米的

A

处沿油罐侧面爬行到对面

B

处偷吃, 则它爬行的最短路程为多少?

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24. 如图, 平行四边形

A B C D

的对角线

A C 、 B D

相交于点

O, A B ⊥ A C, A B = 3, B C =

5 , 点

P

从点

A

出发, 沿

A D

以每秒 1 个单位的速度向终点

D

运动. 连接

P O

并延长交

B C

于点

Q

. 设点

P

的运动时间为

t

秒。
(1) 求

B Q

的长； (用含

t

的代数式表示)
(2) 当四边形

A B Q P

是平行四边形时, 求

t

的值;
(3) 当点

O

在线段

A P

的垂直平分线上时, 直接写出

t

的值.

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