如图, 平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C 、 B D$ 相交于点 $O, A B \perp A C, A B=3, B C=$ 5 , 点 $P$ 从点 $A$ 出发, 沿 $A D$ 以每秒 1 个单位的速度向终点 $D$ 运动. 连接 $P O$ 并延长交 $B C$ 于点 $Q$. 设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒。
(1) 求 $B Q$ 的长； (用含 $t$ 的代数式表示)
(2) 当四边形 $A B Q P$ 是平行四边形时, 求 $t$ 的值;
(3) 当点 $O$ 在线段 $A P$ 的垂直平分线上时, 直接写出 $t$ 的值.