填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3}\left[1^2+3^2+\cdots+(2 n-1)^2\right]=$
设函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 的某一邻域内可微, 且满足
$
f(1+x)-3 f(1-x)=4+2 x+o(x),
$
其中 $o(x)$ 是当 $x \rightarrow 0$ 时 $x$ 的高阶无穷小, 则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为
设 $y=y(x)$ 是初值问题 $\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=1, \\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.$ 的解, 则 $y(x)=$
设可微函数 $z=z(x, y)$ 满足 $x^2 \frac{\partial z}{\partial x}+y^2 \frac{\partial z}{\partial y}=2 z^2$, 又设 $u=x, v=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}$,
$w=\frac{1}{z}-\frac{1}{x}$, 则对函数 $w=w(u, v)$, 偏导数 $\left.\frac{\partial w}{\partial u}\right|_{\substack{u=2 \\ v=1}}=$
设 $a>0$, 则均匀曲面 $x^2+y^2+z^2=a^2(x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0)$ 的重心坐标为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)=\mathrm{e}^{-x} \int_0^x \frac{t^{2023}}{1+t^2} \mathrm{~d} t$, 正整数 $n \leq 2023$, 求导数 $f^{(n)}(0)$.
设函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内有定义, $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=0$, 且 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f\left(\frac{x}{3}\right)}{x}=0$. 证明: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}=0$.
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内可导, 且 $f(0)=0, f(1)=2$. 证明: 存在两两互异的点 $\xi_1, \xi_2, \xi_3 \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime}\left(\xi_1\right) f^{\prime}\left(\xi_2\right) \sqrt{1-\xi_3} \geq 2$.
设 $f(x)$ 是 $[-1,1]$ 上的连续的偶函数, 计算曲线积分:
$I=\oint_L \frac{x^2+y^2}{2 \sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x+f(x) \mathrm{d} y$, 其中曲线 $L$ 为正向圆周 $x^2+y^2=-2 y$.
设函数 $f(x)=\int_0^x \frac{\ln (1+t)}{1+e^{-t} \sin ^3 t} \mathrm{~d} t,(x>0)$, 证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 收敛, 且 $\frac{1}{3} < \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right) < \frac{5}{6}$.