2023年辽宁省新中考数等腰直角三角形专项练习

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2023年辽宁省新中考数等腰直角三角形专项练习

一、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 如图, 在 Rt

△ A B C

中,

A B = A C

, 点

F

为

A C

上一点, 连接

B F

, 以点

C

为圆心,

C A

长为半径作弧交

B F

于点

E

, 连接

A E

. 点

D

为

B C

中点, 连接

D E

.
(1) 求证:

∠ ACE = 2 ∠ BAE

;
(2) 探究

BE

与

DE

的数量关系, 并证明;
(3) 若

AF = 1, CF = 2

, 求

EF

的长.

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2. 如图 1, 在等腰 Rt

△ ABC

中,

∠ BAC = 90^{\circ}

, 点

D

为

BC

中点, 点

E

为

BC

上一点, 连接

A E

. 取

A E

中点

F

, 连接

D F

. 在

B C

上取

G

, 使

B E = C G

, 连接

A G

.
(1) 探究线段 DF 与

A G

的关系, 并证明;
(2) 如图 2, 延长

FD

至

H

使

FD = HD

, 连接

AH 、 BF

. 若

∠ EAH = 45^{\circ}

, 求证:

\sqrt{2}

EF = BF;

(3) 如图 3, 在 (2) 的条件下, 过 C 作

CM ⊥ AH

于

M

. 请直接写出

\frac{AH}{HM}

的值.

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3. 如图 1, 在

△ A B C

中,

A B = A C, C D / / A B

, 点

E

为

A C

中点, 连接

D E

. 以点

E

为圆心,

D E

为半径作弧交

A B

于

F

. 点

G

在

A B

延长线上, 连接

G D

. 过

G

作

G H ⊥ D E

于

H

, 连接

HF

. 若

∠ FGD = 45^{\circ}

.
(1) 在图中找出与

∠ AFE

相等的角, 并证明;
(2) 求

∠ FHG

的度数;
(3) 如图 2, 当

BG = CD = 1, AB = 4

, 求

EH

的长.

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4. 如图 1, 在等腰 Rt

△ A B C

中,

A B = A C

, 点

D

为

B C

的中点. 点

F

为

A B

边上一点, 连接

CF

, 过点

D

作

DE ⊥ CF

于点

E

, 连接

AE

.
(1) 探究

∠ EDC

与

∠ AFC

间的数量关系, 并证明;
(2) 若

∠ AED = 135^{\circ}

, 探究

AF

与

AC

的关系, 并证明;
(3) 如图 2, 延长

AE

交

BC

于点

G

. 在 (2) 的条件下, 求

\frac{AE}{EG}

的值.

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5. 如图 1, 在

△ A B C

中,

A B = A C, ∠ B A C = 90^{\circ}

, 点

D

为

B C

中点,

A E ⊥ B E

, 点

F

为

A E

中点, 连接

D F

. 点

G

为直线

E A

上一点, 满足

A G = B E

, 连接

B G

.
(1) 在图中找出与

∠ A B E

相等的角, 并证明;
(2) 探究

D F

与

B G

的关系, 并证明;
(3) 如图 2, 取

A B

与

F D

交点

K, B G

与

D F

交点

M

. 若

A B = \sqrt{5}, B E = 1

, 求

K M

的长.

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6. 如图 1, 在

△ A B C

中,

∠ B A C = 90^{\circ}, A B = A C

, 点

D

为

B C

中点, 点

E

为

△ A B C

内一点, 连接

B E, E C, ∠ B E C = 135^{\circ}

, 连接

A E 、 D E

.
(1) 在图中找出与

∠ A B E

相等的角, 并证明;
(2) 探究线段

A E

与

D E

的数量关系, 并证明;
(3) 如图 2, 若

C E^{2} + 2 A E^{2} = B E^{2}, A E = 1

, 求

A B

的值.

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