单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\left\{x \mid x^2 \leq 4 x, x \in \mathbf{N}_{+}\right\}$, 集合 $B=\left\{x \mid \log _2\left(2^x-4\right) \leq 2\right\}$, 则 $A \cap B=$
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 2,3
$\text{C.}$ $\{0,1,2,3\}$
$\text{D.}$ $\{3\}$
设复数 $z=2+\mathrm{i}$ 的共轭复数为 $\bar{z}$, 则 $z-\bar{z}+z \bar{z}=$
$\text{A.}$ $3+2 i$
$\text{B.}$ $3-2 i$
$\text{C.}$ $5-2 i$
$\text{D.}$ $5+2 \mathrm{i}$
圆台的上、下底面半径分别是 $r=1, R=4$, 圆台的高为 4 , 则该圆台的侧面积
$\text{A.}$ $16 \pi$
$\text{B.}$ $20 \pi$
$\text{C.}$ $25 \pi$
$\text{D.}$ $30 \pi$
已知 $\cos 2 x=-\frac{1}{3}$, 则 $\cos ^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+\cos ^2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{9}{16}$
$\text{B.}$ $\frac{5}{6}$
$\text{C.}$ $\frac{13}{20}$
$\text{D.}$ $\frac{17}{24}$
新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点, 近年来备受青睐. 某新能源汽车制造企业为调查 其旗下 $A$ 型号新能源汽车的耗电量（单位: $\mathrm{kW} \cdot \mathrm{h} / 100 \mathrm{~km}$ ) 情况, 随机调查得到了 1200 个样本, 据统计该 型号新能源汽车的耗电量 $\xi \sim N\left(13, \sigma^2\right)$, 若 $P(12 < \xi < 14)=0.7$, 则样本中耗电量不小于 $14 \mathrm{~kW}$. $h / 100_{\mathrm{km}}$ 的汽车大约有
$\text{A.}$ 180 辆
$\text{B.}$ 360 辆
$\text{C.}$ 600 辆
$\text{D.}$ 840 辆
已知 $O$ 是坐标原点, $F$ 是双曲线 $E: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左焦点, 平面内一点 $M$ 满足 $\triangle O M F$ 是等边 三角形, 线段 $M F$ 与双曲线 $E$ 交于点 $N$, 且 $|M N|=|N F|$, 则双曲线 $E$ 的离心率为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{13}+1}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{13}-1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{2 \sqrt{15}+2}{7}$
$\text{D.}$ $\frac{2 \sqrt{15}+1}{7}$
已知直线 $l_1: x+m y-3 m-1=0$ 与 $l_2: m x-y-3 m+1=0$ 相交于点 $M$, 线段 $A B$ 是圆 $C:(x+1)^2+$ $(y+1)^2=4$ 的一条动弦, 且 $|A B|=2 \sqrt{3}$, 则 $\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}$ 的最小值为
$\text{A.}$ $6-4 \sqrt{2}$
$\text{B.}$ $3-\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $5+\sqrt{3}$
$\text{D.}$ $\sqrt{5}-1$
已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 $R$, 记 $g(x)=f^{\prime}(x)$. 若 $f(x+3)$ 为奇函数, $g\left(\frac{3}{2}+2 x\right)$ 为偶 函数, 且 $g(0)=-3, g(1)=2$, 则 $\sum_{i=1}^{2023} g(i)= $
$\text{A.}$ 670
$\text{B.}$ 672
$\text{C.}$ 674
$\text{D.}$ 676
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
若 $m>n>0>p, m+p \neq 0$, 则
$\text{A.}$ $\frac{p}{m}>\frac{p}{n}$
$\text{B.}$ $m^2-p^2>0$
$\text{C.}$ $\frac{1}{m+n}>\frac{1}{m+p}$
$\text{D.}$ $m^2-n>n^2-m$
某研究机构为了探究吸烟与肺气肿是否有关，调查了200人.统计过程中发现随机从这200人中抽取一人，此人为肺气肿患者的概率为0.1.在制定2×2列联表时，由于某些因素缺失了部分数据，而获得如图所示的2×2列联表，下列结论正确的是
$\text{A.}$ 不吸烟患肺气肿的人数为 5 人
$\text{B.}$ 200 人中患肺气肿的人数为 10 人
$\text{C.}$ $\chi^2$ 的观测值 $k=11.42$
$\text{D.}$ 按 $99.9 \%$ 的可靠性要求, 可以认为“吸烟与肺气肿有关系”
已知函数 $f(x)=\sin (\cos x)+\cos (\sin x)$, 下列关于该函数的结论正确的是
$\text{A.}$ $f(x)$ 的图象关于直线 $x=\pi$ 对称
$\text{B.}$ $f(x)$ 的一个周期是 $2 \pi$
$\text{C.}$ $f(x)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ 上单调递增
$\text{D.}$ $f(x)$ 的最大值为 $\sin 1+1$
定义: 对于定义在区间 $I$ 上的函数 $f(x)$ 和正数 $\alpha(0 < \alpha \leq 1)$, 若存在正数 $M$, 使得不等式 $\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right| \leq$ $M\left|x_1-x_2\right|^\alpha$ 对任意 $x_1, x_2 \in I$ 恒成立, 则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上满足 $\alpha$ 阶李普希兹条件, 则下列说法正确的有
$\text{A.}$ 函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $1,+\infty)$ 上满足 $\frac{1}{2}$ 阶李普希兹条件.
$\text{B.}$ 若函数 $f(x)=x \ln x$ 在 $[1, e]$ 上满足一阶李普希兹条件, 则 $M$ 的最小值为 2 .
$\text{C.}$ 若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上满足 $M=k(0 < k < 1)$ 的一阶李普希兹条件, 且方程 $f(x)=x$ 在区间 $[a, b]$ 上有解 $x_0$, 则 $x_0$ 是方程 $f(x)=x$ 在区间 $[a, b]$ 上的唯一解.
$\text{D.}$ 若函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上满足 $M=1$ 的一阶李普希兹条件, 且 $f(0)=f(1)$, 则存在满足条件的函数 $f(x)$, 存在 $x_1, x_2 \in[0,1]$, 使得 $\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|=\frac{2}{3}$.
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $f(x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数, 当 $x \geq 0$ 时, $f(x)=4 x+m$, 则 $f\left(-\frac{1}{2}\right)=$
$(3 x-y+2 z)^5$ 的展开式中所有不含字母 $z$ 的项的系数之和为
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1 、 F_2$, 点 $A 、 B$ 在椭圆 $C$ 上, 满足 $\overrightarrow{A F_2}$. $\overrightarrow{F_1 F_2}=0, \overrightarrow{A F_1}=\lambda \overrightarrow{F_1 B}$, 若椭圆 $C$ 的离心率 $e \in\left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$, 则实数 $\lambda$ 取值范围为
古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有10层，则该锥垛球的总个数为
(参考公式: $1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\left(n \in N^*\right)$ )
在(1) $2 a \cos C=2 b-c$, (2) $\sqrt{3} b \cos \frac{B+C}{2}=a \sin B$, (3) $a \sin C=c \cos \left(A-\frac{\pi}{6}\right)$ 这三个条件中任选一个作为条 件, 补充到下面问题中, 然后解答.
已知锐角 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b$, $c$, 且 (填序号).
(1)若 $a=\sqrt{3}, \cos (B-C)=\frac{9}{10}$, 求 $\triangle A B C$ 的面积;
(2)求 $\frac{b+c}{a}$ 的取值范围.
如图, 已知四棱椎 $P-A B C D$ 的底面为菱形, 且 $\angle A B C=60^{\circ}, A B=P C=2, P A=P B=\sqrt{2} \cdot M$ 是棱 $P D$ 上 的点, 且四面体 $M P B C$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$.
(1)证明: $P M=M D$;
(2)若过点 $C, M$ 的平面 $\alpha$ 与 $B D$ 平行, 且交 $P A$ 于点 $Q$, 求平面 $B C Q$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值.
为普及航空航天科技相关知识､发展青少年航空航天科学素养，贵州省某中学组织开展“筑梦空天”航空航天知识竞赛.竞赛试题有甲、乙、丙三类（每类题有若干道），各类试题的每题分值及小明答对概率如下表所示，各小题回答正确得到相应分值，否则得0分，竞赛分三轮答题依次进行，各轮得分之和即为选手总分.
其竞赛规则为：
第一轮，先回答一道甲类题，若正确，进入第二轮答题；若错误，继续回答另一道甲类题，该题回答正确，同样进入第二轮答题，否则，退出比赛.
第二轮，在乙类题或丙类题中选择一道作答，若正确，进入第三轮答题；否则，退出比赛.
第三轮，在前两轮未作答的那一类试题中选择一道作答.
小明参加竞赛，有两种方案选择，方案一：先答甲类题，再答乙类题，最后答丙类题；
方案二：先答甲类题，再答丙类题，最后答乙类题.各题答对与否互不影响.请完成以下解答：
(1)若小明选择方案一，求答题次数恰好为3次的概率；
(2)经计算小明选择方案一所得总分的数学期望为125/4，为使所得总分的数学期望最大，小明该选择哪一种方案？并说明理由.
抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 上的点 $M\left(1, y_0\right)$ 到抛物线 $C$ 的焦点 $F$ 的距离为 $2, A 、 B$ (不与 $O$ 重合) 是抛物线 $C$ 上两个动点, 且 $O A \perp O B$.
(1)求拋物线 $C$ 的标准方程;
(2)x 轴上是否存在点 $P$ 使得 $\angle A P B=2 \angle A P O$ ? 若存在, 求出点 $P$ 的坐标, 若不存在, 说明理由.
已知函数 $f(x)=\ln x+\frac{a}{x}$ 的图象在 $x=1$ 处的切线方程为 $y=b$.
(1)求 $a, b$ 的值及 $f(x)$ 的单调区间.
(2) 已知 $F(x)=\frac{x e^x f(x)-e^x+m x}{x^2-x}$, 是否存在实数 $m$, 使得曲线 $y=F(x)$ 恒在直线 $y=x+1$ 的上方? 若存在, 求 出实数 $m$ 的值; 若不存在, 请说明理由.
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_n \neq 0,\left(1+3 a_1\right)\left(1+3 a_2\right)\left(1+3 a_3\right) \cdots\left(1+3 a_n\right)=a_n\left(n \in N^*\right)$.
(1)证明：数列 $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$ 是等差数列;
(2)求数列 $\left\{a_n a_{n+1}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.