已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1 、 F_2$, 点 $A 、 B$ 在椭圆 $C$ 上, 满足 $\overrightarrow{A F_2}$. $\overrightarrow{F_1 F_2}=0, \overrightarrow{A F_1}=\lambda \overrightarrow{F_1 B}$, 若椭圆 $C$ 的离心率 $e \in\left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$, 则实数 $\lambda$ 取值范围为