单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 1$ 时, 函数 $\frac{x^{2}-1}{x-1} \mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}}$ 的极限 ( )
$\text{A.}$ 等于 2 .
$\text{B.}$ 等于 0 .
$\text{C.}$ 为 $\infty$.
$\text{D.}$ 不存在但不为 $\infty$.
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(1-\cos \frac{\alpha}{n}\right)$ (常数 $\left.\alpha>0\right)(\quad)$
$\text{A.}$ 发散.
$\text{B.}$ 条件收敛.
$\text{C.}$ 绝对收敛.
$\text{D.}$ 收敛性与 $\alpha$ 有关.
在曲线 $x=t, y=-t^{2}, z=t^{3}$ 的所有切线中, 与平面 $x+2 y+z=4$ 平行的切线
$\text{A.}$ 只有 1 条.
$\text{B.}$ 只有 2条.
$\text{C.}$ 至少 3条.
$\text{D.}$ 不存在.
设 $f(x)=3 x^{3}+x^{2}|x|$, 则使 $f^{(n)}(0)$ 存在的最高阶数 $n$ 为 ( )
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
要使 $\boldsymbol{\xi}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right), \boldsymbol{\xi}_{2}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$ 都是线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解, 只要系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为 ( )
$\text{A.}$ $(-2,1,1)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ 4 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$.
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $\mathrm{e}^{x+y}+\cos (x y)=0$ 确定, 则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=$
函数 $u=\ln \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ 在点 $M(1,2,-2)$ 处的梯度 $\left.\operatorname{grad} u\right|_{M}=$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-1, & -\pi < x \leqslant 0, \\ 1+x^{2}, & 0 < x \leqslant \pi,\end{array}\right.$ 则其以 $2 \pi$ 为周期的傅里叶级数在点 $x=\pi$ 处收敛于
微分方程 $y^{\prime}+y \tan x=\cos x$ 的通解为 $y=$
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}a_{1} b_{1} & a_{1} b_{2} & \cdots & a_{1} b_{n} \\ a_{2} b_{1} & a_{2} b_{2} & \cdots & a_{2} b_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n} b_{1} & a_{n} b_{2} & \cdots & a_{n} b_{n}\end{array}\right)$, 其中 $a_{i} \neq 0, b_{i} \neq 0(i=1,2, \cdots, n)$, 则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩 $r(\boldsymbol{A})=$
已知 $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}, P(A B)=0, P(A C)=P(B C)=\frac{1}{16}$, 则事件 $A, B, C$ 全不发 生的概率为
设随机变量 $X$ 服从参数为 1 的指数分布, 则数学期望 $E\left(X+\mathrm{e}^{-2 X}\right)=$
解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-\sin x-1}{1-\sqrt{1-x^{2}}}$.
设 $z=f\left(\mathrm{e}^{x} \sin y, x^{2}+y^{2}\right)$, 其中 $f$ 具有二阶连续偏导数, 求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+x^{2}, & x \leqslant 0, \\ \mathrm{e}^{-x}, & x>0,\end{array}\right.$ 求 $\int_{1}^{3} f(x-2) \mathrm{d} x$.
求微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=\mathrm{e}^{-3 x}$ 的通解.
计算曲面积分 $\iint_{\Sigma}\left(x^{3}+a z^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+a x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}+a y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $\Sigma$ 为上半球面 $z=$ $\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧.
设 $f^{\prime \prime}(x) < 0, f(0)=0$, 证明对任何 $x_{1}>0, x_{2}>0$, 有 $f\left(x_{1}+x_{2}\right) < f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)$.
在变力 $\boldsymbol{F}=y z \boldsymbol{i}+z x \boldsymbol{j}+x y \boldsymbol{k}$ 的作用下, 质点由原点沿直线运动到椭球面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 上第一卦 限的点 $M(\xi, \eta, \zeta)$, 问 $\xi, \eta, \zeta$ 取何值时, 力 $\boldsymbol{F}$ 所作的功 $W$ 最大? 并求出 $W$ 的最大值.
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关, 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关, 问:
(1) $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 能否由 $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表出? 证明你的结论.
(2) $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 能否由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表出?证明你的结论.
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=3$, 对应的特征向量依次为 $\boldsymbol{\xi}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\xi}_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right)$, $\boldsymbol{\xi}_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 9\end{array}\right)$, 又向量 $\boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 3\end{array}\right)$.
（1）将 $\boldsymbol{\beta}$ 用 $\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}$ 线性表出;
（2） 求 $\boldsymbol{A}^{n} \boldsymbol{\beta}(n$ 为自然数).
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立, $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right), Y$ 服从 $[-\pi, \pi]$ 上的均匀分布, 求 $Z=X+Y$ 的 概率密度 (计算结果用标准正态分布函数 $\Phi$ 表示, 其中 $\left.\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{x} \mathrm{e}^{-\frac{t^{2}}{2}} \mathrm{~d} t\right. $ )
求 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_0^{x^2}\left(x^2-t\right) f(t) \mathrm{d} t$ ，其中 $f(t)$ 为已知的连续函数.
计算 $\boldsymbol{I}=\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{y}} e^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x+\int_{\frac{1}{2}}^1 \mathrm{~d} y \int_y^{\sqrt{y}} e^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x$
设矩阵 $X$ 满足 $A X+I=A^2+X$ ，其中 $I$ 为三阶单位阵，又已知 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，试求出矩阵 $X$.