解答题 （共 19 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
利用二重积分的几何意义确定下列积分的值 $\iint_D \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D: x^2+y^2 \leq a^2$ ．
利用二重积分的性质比较下列积分的大小：
$$
\iint_D(x+y)^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \text { 与 } \iint_D(x+y)^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
$D$ 由圆周 $(x-2)^2+(y-1)^2=2$ 所围．
设 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上连续，$\left(x_0, y_0\right)$ 是 $D$ 的一个内点，$D_r$ 是以 $\left(x_0, y_0\right)$ 为中心以 $r$ 为半径的闭圆盘，试求极限 $\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi r^2} \iint_{D_r} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．［提示：利用重积分中值定理］
计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \iint_{x^2+y^2 \leq n^2}\left[\sqrt{x^2+y^2}\right] \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $\left[\sqrt{x^2+y^2}\right]$ 是不大于 $\sqrt{x^2+y^2}$ 的最大整数，$n$ 是正整数．
［提示：（1）将积分区域 $x^2+y^2 \leq n^2$ 分解为 $k^2 \leq x^2+y^2 < (k+1)^2(k=0,1,2, \cdots, n-1)$ ；
（2） $\left.1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n}{6}(n+1)(2 n+1)\right]$ ．
交换二次积分 $\int_0^\pi \mathrm{d} x \int_{-\sin \frac{x}{2}}^{\sin x} f(x, y) \mathrm{d} y$ 的积分次序．
计算下列二重积分：
（1） $\iint_D\left(x^3+x^2 y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由双曲线 $x^2-y^2=1$ ，直线 $y=0, y=1$ 围成的有界闭
区域。
（2） $\iint_D \sqrt{\left|y-x^2\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}$ ．
利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性计算积分 $I=\iint_D\left(x^3 \cos y^2+y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由曲线 $y=x^2, y=4 x^2, y=1$ 围成的闭区域．
设平面区域 $D$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t-\sin t, \\ y=1-\cos t\end{array} \quad(0 \leq t \leq 2 \pi)\right.$ 与 $x$ 轴围成，计算二重积分 $\iint_D y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$
函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上连续，画出积分区域 $D$ ，并把积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 表示为极坐标系下的二次积分，其中：
（1）$D$ 为 $x^2+y^2 \geq 1$ 和 $x^2+y^2 \leq 2 x$ 所围闭区域；
（2）积分区域 $D$ 为 $x^2 \leq y \leq 1$ 所围闭区域．
$\iint_D \ln \left(1+x^2+y^2\right) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D$ 是圆周 $x^2+y^2=1$ 及坐标轴所围成的第一象限的闭区域．
$\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_{x^2}^x\left(x^2+y^2\right)^{-\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y$ ．
$\iint_D \frac{y-x}{x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, D: x^2+y^2 \leq 1, y-x \geq 1$ ．
$\iiint_D x^2+y^2-2 \mid \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, D: x^2+y^2 \leq 3$
求由曲面 $z=x^2+3 y^2$ 及 $z=8-3 x^2-y^2$ 所围立体的体积．
设函数 $f(x, y, z)$ 在区域 $\Omega$ 上连续，化三重积分 $I=\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V$ 为形如 $\int_a^b \mathrm{~d} x \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} \mathrm{d} y \int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ 的三次积分，其中：
（1）$\Omega$ 是由双曲抛物面 $x y=z$ 及平面 $x+y-1=0, z=0$ 围成的闭区域；
利用柱坐标计算三重计分 $I=\iiint_{\Omega}(x+z) \mathrm{d} V$ ，其中 $\Omega$ 是由曲面 $z=\sqrt{2-x^2-y^2}$ 及 $z=x^2+y^2$ 所围成的闭区域．
利用球坐标计算三重计分 $I=\iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} V$ ，
其中 $\Omega$ 是由不等式 $x^2+y^2+(z-a)^2 \leq a^2, x^2+y^2 \leq z^2$ 所确定．
选适当坐标系计算三重积分
（1） $\iiint_{\Omega}\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega$ 是 $\left\{\begin{array}{l}y^2=2 z \\ x=0\end{array}\right.$ 绕 $z$ 轴旋转一周而成的曲面与平面
（2）$I=\iiint_{\Omega}|z| \mathrm{d} v$ ，其中 $\Omega$ 是由球面 $x^2+y^2+z^2=4$ 所围成的闭区域。
利用三重积分求由抛物面 $a z=x^2+y^2$ 及圆锥面 $z=2 a-\sqrt{x^2+y^2}(a>0)$ 围成立体的体积。