单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
已知数列 $\left\{\frac{a_n}{n}\right\}$ 为等比数列，且 $a_4=2, a_8=16$ ，则 $a_{10}=$
$\text{A.}$ 30
$\text{B.}$ $\pm 30$
$\text{C.}$ 40
$\text{D.}$ $\pm 40$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，若满足 $S_n=4 a_n-3$ ，则 $S_n=$
$\text{A.}$ $4\left[\left(\frac{2}{5}\right)^n-1\right]$
$\text{B.}$ $4\left[\left(\frac{2}{3}\right)^n-1\right]$
$\text{C.}$ $3\left[\left(\frac{4}{3}\right)^n-1\right]$
$\text{D.}$ $4\left(3^n-1\right)$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：$a_1=\frac{3}{8}, a_{n+2}-a_n \leq 3^n, a_{n+6}-a_n \geq 91 \cdot 3^n$ ，则 $a_{2023}=$
$\text{A.}$ $\frac{3^{2023}}{2}+\frac{3}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{3^{2023}}{8}+\frac{3}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{3^{2023}}{8}$
$\text{D.}$ $\frac{3^{2023}}{2}$
已知 $S_n$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_1=a_2=1, a_n=2 a_{n-1}+3 a_{n-2}(n \geq 3)$ ，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 数列 $\left\{a_n-a_{n+1}\right\}$ 为等比数列
$\text{B.}$ 数列 $\left\{a_{n+1}+2 a_n\right\}$ 为等比数列
$\text{C.}$ $S_{40}=\frac{1}{4}\left(3^{20}-1\right)$
$\text{D.}$ $a_n=\frac{3^{n-1}+(-1)^{n-1}}{2}$
多选题 （共 1 题 ），每题有多个选项正确
设正整数 $n=a_0 \cdot 2^0+a_1 \cdot 2+\cdots+a_{k-1} \cdot 2^{k-1}+a_k \cdot 2^k$ ，其中 $a_i \in\{0,1\}$ ，记 $\omega(n)=a_0+a_1+...+a_k$ ．则
$\text{A.}$ $\omega(2 n)=\omega(n)$
$\text{B.}$ $\omega(2 n+3)=\omega(n)+1$
$\text{C.}$ $\omega(8 n+5)=\omega(4 n+3)$
$\text{D.}$ $\omega\left(2^n-1\right)=n$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ．
（1）若 $S_1=2, S_{n+1}=2 S_n+2$ ，证明：$S_n=a_{n+1}-2$ ；
（2）在（1）的条件下，若 $b_n=\log _2 a_n$ ，数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，求证 $\frac{1}{T_1}+\frac{1}{T_2}+\frac{1}{T_3}+\cdots+\frac{1}{T_n} < 2$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}, a_1=2, \frac{1}{b_n}-\frac{1}{a_n}=1, a_{n+1}=2 b_n$ ．
（1）求证数列 $\left\{\frac{1}{a_n}-1\right\}$ 是等比数列；
（2）求数列 $\left\{\frac{n}{b_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
在等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_7=8 a_4$ ，且 $\frac{1}{2} a_2, a_3-4, a_4-12$ 成等差数列．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_n=(-1)^n \log _2 a_n$ ，数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，求满足 $\left|T_k\right|=20$ 的 $k$ 的值．
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $a_n$ 与 $-4 n$ 的等差中项为 $S_n-a_n$ ．
（1）证明：数列 $\left\{a_n+2\right\}$ 是等比数列；
（2）设 $b_n=\log _3 \frac{a_n+2}{2}$ ，证明：$\left(1+\frac{1}{b_1}\right)\left(1+\frac{1}{b_3}\right)\left(1+\frac{1}{b_5}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{b_{2 n-1}}\right)>\sqrt{b_{2 n+1}}$ ．
已知 $\left\{a_n\right\}$ 为等差数列，$\left\{b_n\right\}$ 是公比为 2 的等比数列，且 $a_2-b_2=a_3-b_3=b_4-a_4$ ．
（1）证明：$a_1=b_1$ ；
（2）求集合 $\left\{k \mid b_k=a_m+a_1, 1 \leq m \leq 500\right\}$ 中元素个数．
已知 $\left\{a_n\right\}$ 是公差为 2 的等差数列，其前 8 项和为 $64 .\left\{b_n\right\}$ 是公比大于 0 的等比数列，$b_1=4, b_3-b_2=48$ ．
（I）求 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
（II）记 $c_n=b_{2 n}+\frac{1}{b_n}, n \in N^*$ ，
（i）证明 $\left\{c_n^2-c_{2 n}\right\}$ 是等比数列；
（ii）证明 $\sum_{k=1}^n \sqrt{\frac{a_k a_{k+1}}{c_k^2-c_{2 k}}} < 2 \sqrt{2}\left(n \in N^*\right)$