设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $a_n$ 与 $-4 n$ 的等差中项为 $S_n-a_n$ ．
（1）证明：数列 $\left\{a_n+2\right\}$ 是等比数列；
（2）设 $b_n=\log _3 \frac{a_n+2}{2}$ ，证明：$\left(1+\frac{1}{b_1}\right)\left(1+\frac{1}{b_3}\right)\left(1+\frac{1}{b_5}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{b_{2 n-1}}\right)>\sqrt{b_{2 n+1}}$ ．