单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
下列图形中，是中心对称图形的是
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
任意画一个三角形，下列事件中，是必然事件的是
$\text{A.}$ 这个三角形有两条边相等
$\text{B.}$ 这个三角形有一个内角是直角
$\text{C.}$ 这个三角形三个内角的和是180^∘
$\text{D.}$ 这个三角形两条边的和等于第三条边
反比例函数 $y=\frac{k-3}{x}$ 的图象如图所示，则 $k$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $k < 0$
$\text{B.}$ $k \neq 3$
$\text{C.}$ $k < 3$
$\text{D.}$ $k>3$
如图，四边形 $A B C D \sim$ 四边形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ ，则 $B^{\prime} C^{\prime}$ 的长度 $x$ 和角 $\beta$ 的大小分别是
$\text{A.}$ $x=2, \beta=78^{\circ}$
$\text{B.}$ $x=2, \quad \beta=88^{\circ}$
$\text{C.}$ $x=4.5, \quad \beta=78^{\circ}$
$\text{D.}$ $x=4.5, \beta=88^{\circ}$
某种药品经过两次降价，单价由 100 元降为 81 元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为 $x$ ，则符合题意的方程是
$\text{A.}$ $100\left(1-x^2\right)=81$
$\text{B.}$ $100(1-x)^2=81$
$\text{C.}$ $100(1-2 x)=81$
$\text{D.}$ $81(1+x)^2=100$
将抛物线 $y=(x-1)^2+2$ 沿 $x$ 轴折叠后得到的新抛物线的解析式为
$\text{A.}$ $y=(x+1)^2-2$
$\text{B.}$ $y=(x-1)^2-2$
$\text{C.}$ $y=-(x-1)^2-2$
$\text{D.}$ $y=(x+1)^2+2$
如图，在 $\triangle A B C$ 中，$\angle A C B=75^{\circ}$ ，将 $\triangle A B C$ 绕点 $C$ 旋转，得到 $\triangle D E C$ ．若点 $A$ 的对应点 $D$ 恰好在$B C$ 的延长线上，则旋转方向和旋转角可能是
$\text{A.}$ 顺时针， $105^{\circ}$
$\text{B.}$ 逆时针， $105^{\circ}$
$\text{C.}$ 顺时针， $75^{\circ}$
$\text{D.}$ 逆时针， $75^{\circ}$
如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O$ ，延长 $A D, B C$ 交于点 $E$ ，连接 $O B, O C$ ．下列四个角中，与 $\angle B A D-$定相等的是
$\text{A.}$ $\angle A E B$
$\text{B.}$ $\angle B O C$
$\text{C.}$ $\angle C D E$
$\text{D.}$ $\angle D C E$
下列函数中，当 $x>-1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大的是
$\text{A.}$ $y=\frac{2}{x}$
$\text{B.}$ $y=-\frac{2}{x}$
$\text{C.}$ $y=x^2+2 x$
$\text{D.}$ $y=x^2-2 x$
已知 $x_0$ 是一元二次方程 $a x^2+b x+c=0(a \neq 0)$ 的实数根，$\Delta=b^2-4 a c$ ，设 $M=\left(2 a x_0+b\right)^2$ ，则下列判断正确的是
$\text{A.}$ $2 M=\Delta$
$\text{B.}$ $M=2 \Delta$
$\text{C.}$ $M-\Delta=0$
$\text{D.}$ $M+\Delta=0$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
点 $A(3,-5)$ 关于原点的对称点为点 $B$ ，则点 $B$ 的坐标为
如图，$A, B$ 为 $\odot O$ 上两点，$A B=8, O C \perp A B$ 于点 $C$ ，且 $O C=3$ ，则 $O A$ 的长是
如图，在 $\triangle A B C$ 中，$D, E$ 分别是 $A B, A C$ 边上的点，若 $\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}=\frac{2}{3}$ ，则 $\triangle A D E$ 的面积与 $\triangle A B C$ 的面积的比是
现实生活中二维码随处可见，其中码眼用于帮助识别二维码的方向和位置．如图所示的二维码中有三个码眼，某小组同学为了解该二维码中码眼面积在二维码面积中的占比，利用计算机编程做了随机点生成实验，实验数据如表所示，则估计＂一个点生成在码眼区域＂的概率是 $\_\_\_\_$ （精确到0．01）
如图，$A, B$ 是反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0, x>0)$ 的图象上的两点，若 $\triangle O A B$ 是等腰三角形，且 $O A= O B=2, \angle A O B=30^{\circ}$ ，则 $k$ 的值是
二次函数 $y_1=a x^2+b x+c(a \neq 0)$ 可以写成 $y_1=a_1(x-t)^2+b_1(x-t)+c_1$ 的形式，其能与函数 $y_2=a_1 x^2+ b_1 x+c_1$ 建立联系，发现当 $x=m$ 时，$y_2=n$ ，当 $x=m+t$ 时，$y_1=n$ ．我们把上述现象称为函数 $y_1$ 参照 $y_2$ 取值延后，延后值为 $t$ ．若函数 $y_3=p x^2+q x+d$ 参照 $y_4=3 x^2-4 x+e$ 取值延后，延后值为 3 ，则 $d-e$ 的值是
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
解下列方程：
（1）$x^2+2 x=0$ ；
（2）$x^2-2=0$ ．
已知关于 $x$ 的方程 $x^2-3 x-m=0$ 有实数根，求 $m$ 的取值范围．
如图，在正方形 $A B C D$ 中，射线 $A E$ 与边 $C D$ 交于点 $E$ ，将射线 $A E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转，与 $C B$ 的延长线交于点 $F, B F=D E$ ，连接 $F E$ ．
（1）求证：$A F=A E$ ；
（2）若 $\angle D A E=30^{\circ}, D E=2$ ，直接写出 $\triangle A E F$ 的面积．
已知 $\triangle A B C$ 与 $\triangle C B D$ 相似，点 $A, B, C$ 分别对应于点 $C, B, D$ ，其中 $A B=\sqrt{2}, B C=2 \sqrt{2}$ ， $A C=\sqrt{10}$.
（1）求 $C D$ 的长；
（2）如图，将 $\triangle A B C$ 放置在 $7 \times 6$ 的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中，$\triangle A B C$ 的三个顶点均在格点上，请在给出的格点图中画出 $\triangle C B D$（仅用无刻度直尺画图，并标明点 $D$ 的位置）。
2024世界航海装备大会，以＂承载人类梦想驶向星辰大海＂为主题，于2024年11月15日至18日在福州海峡国际会展中心举办为进一步提升学生对航海知识的了解，学校精心组织了一场航海知识竞赛，竞赛设置了 $A, B$ ， $C, D$ 四个赛道．甲，乙两名同学被随机安排参加其中一个赛道，每名同学被安排到各赛道的可能性相同．
（1）求甲同学参加 $A$ 赛道的概率；
（2）求甲，乙两名同学至少有一人参加 $A$ 赛道的概率．
已知锐角三角形 $A B C$ 内接于 $\odot O, D$ 为 $B C$ 上一点，$E$ 为 $\hat{B C}$ 上一点，连接 $A D, A E, B E, \triangle A B F$ 与 $\triangle A B E$ 关于直线 $A B$ 对称，且 $\angle B A F=\angle C A D$ ．
（1）当 $A D \perp B C$ 时，如图1，求证：$A E$ 为 $\odot O$ 的直径；
（2）当 $B F$ 为 $\odot O$ 的切线时，如图 2 ，求证：$A C=A D$ ．
如图1所示，一位小朋友在一个半径（内径）为 $1 m$ 的圆柱形水泥管道内踢球。某次操作时，球沿管壁上升一定高度后脱离管壁到再次触壁前，在管道内的运动轨迹（球心轨迹）是一条抛物线，且在该管道的某一横截面上．如图2所示，在该横截面上，以水泥管道内壁（圆）的最低点为原点 $O$ ，以过 $O$ 点的直径所在的直线为 $y$ 轴，过点 $O$ 垂直于 $y$ 轴的直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系。已知小球从管壁脱离时球心 $A$ 的坐标为 $\left(-\frac{5}{6}, \frac{4}{3}\right)$ ，小球球心经过的最高点坐标为 $\left(-\frac{7}{12}, \frac{3}{2}\right)$ ．
（1）求小球球心轨迹对应抛物线的解析式；
（2）当小球的球心落在书包开口中心时，小球恰好落入书包中．若小球在此次运动中恰好落入小朋友的书包内，且此时书包开口的中心到 $x$ 轴所在的水平线距离为 $\frac{16}{27} m$ ，求书包开口中心处的坐标．
在 $\triangle A B C$ 中，$\angle A C B=90^{\circ}, D$ 为 $B C$ 边上一点，连接 $A D$ ，点 $E$ 在 $D C$ 的延长线上，$D E=D A$ ，连接 $A E$ ，过点 $E$ 作 $E F \perp A D$ 于点 $F$ ，交 $A B$ 于点 $G$ ，且 $G E=G B$ ．
（1）当 $D$ 是 $B E$ 中点时，如图1，求 $\angle B$ 的度数；
（2）当 $A C=2 C E$ 时，如图2．
① 求 $\frac{A C}{C D}$ 的值；
② 若 $A G=5$ ，求 $B D$ 的长．
一款多功能桌子，若将4张此款桌子无缝拼接，恰好可以形成中间有圆形镂空的大圆桌，俯视图 （从上面看物体，所得图形的形状）如图1所示，其外围及镂空边界为一大一小的同心圆，大圆的半径为 80 cm ，小圆的半径为 20 cm ，相邻两张桌子接缝的延长线皆过圆心．现将2张此款桌子先后按图2，图3的方式进行无缝拼接．
（1）将拼成桌子俯视图的外围周长的值称为桌子的功能值，图2的功能值记为 $l_1$ ，图3 的功能值记为 $l_2$ ．
① 判断大小：$l_1$ $\_\_\_\_$ $l_2$（填＂$>$＂，＂$=$＂，＂$ < $＂）；
② 求 $l_2$ 的大小；
（2）如果一个矩形能把一个图形完全覆盖，且每条边与该图形至少有一个公共点，我们称这个矩形为该图形的占地区域。例如，若矩形 $A B C D$ 能把图2完全覆盖，且边 $A B$ 是图2大半圆的直径，其余三边与大半圆都只有一个公共点，则矩形 $A B C D$ 为图2的其中一个占地区域（如图4所示）。
① 请通过运算说明图4中的矩形 $A B C D$ 不能是图3的占地区域；
② 在图4中的矩形 $A B C D$ 中，若只改变该矩形的长，宽不变，或者只改变该矩形的宽，长不变，使得调整后的矩形是图3的占地区域，请画出示意图，并写出调整后的矩形的边长（要求：画出两种符合题意的示意图并写出正确的边长，即可得满分）。
