单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $L: x^2+y^2=R^2(R>0)$, 则曲线积分 $\int_L\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} s=$
$\text{A.}$ $\pi R^2$;
$\text{B.}$ $\pi R^3$;
$\text{C.}$ $2 \pi R^2$;
$\text{D.}$ $2 \pi R^3$.
设有向曲线 $L$ 上任一点 $(x, y)$ 处的切向量为 $(1,2 x)$, 则将 曲线积分 $\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 化为第一类曲线积分的结果为
$\text{A.}$ $\int_L(P+2 x Q) \mathrm{d} s$;
$\text{B.}$ $\int_L(2 x P+Q) \mathrm{d} s$;
$\text{C.}$ $\int_L \frac{P+2 x Q}{\sqrt{1+4 x^2}} \mathrm{~d} s$;
$\text{D.}$ $\int_L \frac{2 x P+Q}{\sqrt{1+4 x^2}} \mathrm{~d} s$.
若曲线积分 $\int_L x^2 y^2 \mathrm{~d} x+a x^3 y \mathrm{~d} y$ 的结果与路径无关, 则 $a=$.
$\text{A.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ 2
设曲面 $\Sigma$ 是上半球面 $x^2+y^2+z^2=R^2(z \geq 0)$, 曲面 $\Sigma_1$ 是 $\Sigma$ 在第一卦限中的部分, 则有
$\text{A.}$ $\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} S=4 \iint_{\Sigma_1} x \mathrm{~d} S$
$\text{B.}$ $\iint_{\Sigma} y \mathrm{~d} S=4 \iint_{\Sigma_1} y \mathrm{~d} S$
$\text{C.}$ $\iint_{\Sigma} z \mathrm{~d} S=4 \iint_{\Sigma_1} z \mathrm{~d} S$
$\text{D.}$ $\iint_{\Sigma} x y z \mathrm{~d} S=4 \iint_{\Sigma_1} x y z \mathrm{~d} S$
设 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 的下半球面的下侧, 将曲面 积分 $\iint_{\Sigma} x^2 y^2 z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 化为二重积分为
$\text{A.}$ $-\iint_{D_{x y}} x^2 y^2\left(-\sqrt{R^2-x^2-y^2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, \quad D_{x y}: x^2+y^2 \leq R^2$
$\text{B.}$ $-\iint_{D_{x y}} x^2 y^2 \sqrt{R^2-x^2-y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, $D_{x y}: x^2+y^2 \leq R^2$
$\text{C.}$ $\iint_{D_{x y}} x^2 y^2\left(R^2-x^2-y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, $D_{x y}: x^2+y^2 \leq R^2$
$\text{D.}$ $-\iint_{D_{x y}} x^2 y^2\left(R^2-x^2-y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, $D_{x y}: x^2+y^2 \leq R^2$
下列级数中, 收敛的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+n^2}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{1}{\sqrt{n}}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n}}$
下列级数中, 绝对收敛的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n^2}{n^2}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{n}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \cdot \frac{n}{n+1}$
若幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n, \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$ 的收敛半径分别是 $R_1 、 R_2$, 则幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_n+b_n\right) x^n\left(a_n \neq-b_n\right)$ 的收敛半径是
$\text{A.}$ $R=\max \left(R_1, R_2\right)$
$\text{B.}$ $R=\min \left(R_1, R_2\right)$
$\text{C.}$ $R=R_1 R_2$
$\text{D.}$ $R=R_1+R_2$
当 $|x| < 1$ 时, 函数 $\ln (1+x)$ 在 $x=0$ 的幂级数展开式为
$\text{A.}$ $x+\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{3} x^3+\frac{1}{4} x^4+\cdots+\frac{1}{n} x^n+\cdots$
$\text{B.}$ $x-\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{3} x^3-\frac{1}{4} x^4+\cdots+(-1)^{n-1} \cdot \frac{1}{n} x^n+\cdots$
$\text{C.}$ $x+\frac{1}{2 !} x^2+\frac{1}{3 !} x^3+\frac{1}{4 !} x^4+\cdots+\frac{1}{n !} x^n+\cdots$
$\text{D.}$ $x-\frac{1}{3 !} x^3+\frac{1}{5 !} x^5-\frac{1}{7 !} x^7+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{(2 n-1) !} x^{2 n-1}+\cdots$
将函数 $f(x)=\frac{1}{3+4 x}$ 展开为 $x-1$ 的幂级数, 则该级数的收敛半径为
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{5}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{7}{4}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $L$ 是直线 $y=x$ 上点 $O(0,0)$ 到点 $A(1,1)$ 的一段弧, 则 $\int_L(x+y) \mathrm{d} s=$
$\int_L \mathrm{e}^x(1-2 \cos y) \mathrm{d} x+2 \mathrm{e}^x \sin y \mathrm{~d} y=$
(其中 $L$ 是 $y=\sin x$ 上从点 $A(\pi, 0)$ 到点 $O(0,0)$ 的一段弧 $)$.
已知函数 $u(x, y)$ 的全微分为 $2 x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y$, 则 $u(x, y)=$
(求出满足条件的任何一个函数均可)
正项级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^n}+\cdots$ 的和为
幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n \cdot n} x^n$ 的收敛半径为
设 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的函数, 其傅里叶级数的和函数为 $s(x), f(x)$ 在 $(-\pi, \pi]$ 内的函数表达式为
$f(x)=\left\{\begin{array}{rr}x & 0 \leq x \leq \pi \\ 0 & -\pi < x < 0\end{array}\right.$, 则 $s(9 \pi)=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $\int_L x y^2 \mathrm{~d} y-x^2 y \mathrm{~d} x$, 其中 $L$ 为圆周 $x^2+y^2=a^2(a>0)$, 逆时针方向.
计算 $\iint_{\Sigma}\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} S$, 其中 $\Sigma: z=\sqrt{x^2+y^2}(0 \leq z \leq 4)$.
计算 $\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+(z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $\Sigma$ 为 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 上侧.
判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2^n \cdot n !}{n^n}$ 的敛散性, 并计算极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \dfrac{2^n \cdot n !}{n^n}$.
求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}$ 的和函数 $s(x)$ 与收敛半径, 并利用 $s(x)$ 计算 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1) \cdot 2^{n+1}}$ 的和.
计算曲线积分 $\prod_L\left(x^2+y^2+z^2\right) \mathrm{d} s$, 其中
$$
L:\left\{\begin{array}{c}
x^2+y^2+z^2=\frac{9}{2}, \\
x+z=1 .
\end{array}\right.
$$
设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的和函数为 $y(x)$, 满足 $y(0)=2$, 且该 幂级数的系数满足关系式 $a_{n-1}=n a_n$, 求 $y(x)$ 及系数 $a_n$.