2022《高等数学A》下册期末考试模拟试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的和函数为 $y(x)$, 满足 $y(0)=2$, 且该幂级数的系数满足关系式 $a_{n-1}=n a_n$, 求 $y(x)$ 及系数 $a_n$.

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答案：

$y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 两边求导得: $y^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$
$$
=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1} x^{n-1}=y(x)
$$
由 $y^{\prime}(x)=y(x)$ 解得: $y(x)=C \mathrm{e}^x$,
由 $y(0)=2$ 得, $C=2$, 则 $y(x)=2 \mathrm{e}^x$
由 $y(x)=2 \mathrm{e}^x=2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n !}$ 得: $a_n=\frac{2}{n !}$

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