2022《高等数学A》下册期末考试模拟试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2^n \cdot n !}{n^n}$ 的敛散性, 并计算极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \dfrac{2^n \cdot n !}{n^n}$.

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我来讲解

答案：

解: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n+1} \cdot(n+1) !}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{2^n \cdot n !}$
$$
\begin{aligned}
& =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n^n}{(1+n)^n} \\
& =\frac{2}{\mathrm{e}}
\end{aligned}
$$
因此级数收敛
由收敛级数的必要条件知 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^n \cdot n !}{n^n}=0$

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