2022《高等数学A》下册期末考试模拟试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}$ 的和函数 $s(x)$ 与收敛半径, 并利用 $s(x)$ 计算 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1) \cdot 2^{n+1}}$ 的和.

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答案：

解: $s(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}$, 则 $s^{\prime}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} x^{2 n}$
则 $s^{\prime}(x)=\frac{1}{1-x^2}$
收敛半径为 $R=1$
两边从 0 到 $x$ 积分得:
$$
\begin{gathered}
s(x)=\int_0^x \frac{1}{1-x^2} \mathrm{~d} x=-\int_0^x \frac{1}{x^2-1} \mathrm{~d} x \\
=-\frac{1}{2} \ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right| \text { 或 }=-\frac{1}{2} \ln \frac{1-x}{1+x} \cdots \\
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1) \cdot 2^{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1) \cdot(\sqrt{2})^{2 n+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}} s\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\
=-\frac{1}{2 \sqrt{2}} \ln \frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{2 \sqrt{2}} \ln \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}
\end{gathered}
$$

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