解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
拋掷 3 枚均匀的硬币，设事件
$$
\begin{aligned}
A & =\{\text { 至多出现一次正面 }\}, \\
B & =\{\text { 抛掷过程中, 正面与反面都出现 }\}
\end{aligned}
$$
判断随机事件 $A$ 与 $B$ 是否相互独立 ？
如果抛掷 4 枚均匀的硬币，判断上述随机事件 $A$ 与 $B$ 是否相互独立 ？
设某种昆虫产卵的数目 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的 Poisson分布，而一个卵能孵化为下一代幼虫的概率为 $p$ ，并且各个卵能否孵化为下一代幼虫是相互独立的．求该昆虫有 $r$个下一代幼虫的概率 $p_r$ ．
设随机变量 $X$ 的密度函数为
$$
f(x)=\frac{1}{\pi\left(1+x^2\right)}, \quad(-\infty < x < +\infty)
$$
试求 $E[\min (|X|, 1)]$ ．
设平面区域 $D$ 是由双曲线 $y=\frac{1}{x},(x>0)$ 以及直线 $y=x, x=2$ 所围，二维随机变量 $(X, Y)$ 服从区域 $D$ 上的均匀分布．求：（1）二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数 $f(x, y)$ ；（2）随机变量 $Y$ 的边际密度函数 $f_Y(y)$ ．
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 满足： $\operatorname{var}(X)=2, \operatorname{var}(Y)=4$ ， $\operatorname{cov}(X, \quad Y)=1$ ，再设随机变量 $U=2 X-3 Y$ ， $V=3 X-2 Y$ ，求二维随机变量 $(U, V)$ 的相关系数 $\rho_{U, V}$.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，分别服从自由度为 $m$ 与 $n$ 的 $\chi^2$ 分布，密度函数分别为
$$
f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{2^{\frac{m}{2}} \Gamma\left(\frac{m}{2}\right)} x^{\frac{m}{2}-1} e^{-\frac{x}{2}} & x>0 \\
0 & x \leq 0
\end{array}, \quad f_Y(y)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)^{y^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{y}{2}}}} & y>0 \\
0 & y \leq 0
\end{array} .\right.\right.
$$
其中 $m$ 与 $n$ 都是正整数．令随机变量 $U=X+Y, V=\frac{X}{X+Y}$ ，求二维随机变量 $(U, V)$ 的联合密度函数 $g(u, v)$ ．
设离散型随机变量 $X$ 的分布列为
$$
P\{X=k\}=\left(e^\lambda-1\right)^{-1} \cdot \frac{\lambda^k}{k!}, \quad(k=1, \quad 2, \quad 3, \cdots) .
$$
其中参数 $\lambda>0$ ．（1）求随机变量 $X$ 的特征函数 $\varphi(t)$ ；（2）利用特征函数 $\varphi(t)$ 求随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)$
在独立的 Bernoulli 试验中，事件 $A$ 在每次试验中发生的概率均为 $p$ ，设
$$
\begin{gathered}
X_k=\left\{\begin{array}{ll}
1 & \text { 事件 } A \text { 在第 } k \text { 次与第 } k+1 \text { 次试验中都发生 } \\
0 & \text { 其它 }
\end{array},\right. \\
\qquad(k=1,2,3, \cdots) .
\end{gathered}
$$
（1）求 $\frac{1}{n^2} \operatorname{var}\left(\sum_{k=1}^n X_k\right)$ ；（2）证明随机变量序列 $\left\{X_n\right\}$ 服从大数定律 ．
将数字 $1,2, \cdots, n$ 任意地排成一排，定义
$$
\begin{gathered}
X_i=\left\{\begin{array}{ll}
1 & \text { 如果第 } i \text { 个位置上恰好是数字 } i \\
0 & \text { 如果第 } i \text { 个位置上不是数字 } i
\end{array}\right. \text {, } \\
(i=1,2, \cdots, n)
\end{gathered}
$$
求期望 $E\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)$ 与方差 $\operatorname{var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)$
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，都服从参数为 $p$ 的几何分布，$X$ 的分布列为
$$
P\{X=k\}=(1-p)^{k-1} p, \quad(k=1, \quad 2, \cdots) .
$$
试求条件分布列 $P\{X=k \mid X+Y=n\}$ 以及条件期望 $E(X \mid X+Y=n)$ ．
设 $\left\{X_n\right\}$ 是独立同分布的随机变量序列，而且 $E\left(X_1\right)=\mu$ 与 $\mathrm{var}\left( X_1\right)=\sigma^2$ 都存在．又设 $Y_n=\frac{2}{n(n+1)} \sum_{k=1}^n k X_k$ ，试用 Chebyshev 不等式证明： $Y_n \xrightarrow{P} \mu$.
一报童在街上卖报纸，假设每个走过他身边的人均以概率 $\frac{1}{3}$买该报纸，以 $X$ 表示他刚卖出 100 份该报纸时走过他身边的人的总数，试用中心极限定理近似计算概率 $P(X \leq 300)$ 的值．（提示：以 $X_1$ 表示该报童开始卖报到他售出第一份报纸时走过他身边的人数，$X_i$ 表示卖报人从卖出第 $i-1$ 份报纸后从他身边走过的第一个人到卖出第 $i$ 份报纸时走过他身边的人数．）