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设离散型随机变量 $X$ 的分布列为

$$
P\{X=k\}=\left(e^\lambda-1\right)^{-1} \cdot \frac{\lambda^k}{k!}, \quad(k=1, \quad 2, \quad 3, \cdots) .
$$
其中参数 $\lambda>0$ ．（1）求随机变量 $X$ 的特征函数 $\varphi(t)$ ；（2）利用特征函数 $\varphi(t)$ 求随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)$
                        
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