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高中数学第一轮复习 圆锥曲线中的离心率问题

发布日期 2025/9/18 19:55:21      查看 6      加入组卷      查看作者     
单选题
由伦敦著名建筑事务所 SteynStudio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为 $60^{\circ}$ ，则该双曲线的离心率为 ()


$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\text{B.}$ $\sqrt{3}$ $\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\text{D.}$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
已知抛物线 $y^2=4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ．若 $l$ 与双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线分别交于点 $A$和点 $B$ ，且 $|A B|=4|O F|$（ $O$ 为原点），则双曲线的离心率为

$\text{A.}$ $\sqrt{2}$ $\text{B.}$ $\sqrt{3}$ $\text{C.}$ 2 $\text{D.}$ $\sqrt{5}$
在平面直角坐标系 $x o y$ 中，$F_1, F_2$ 分别是双曲线 C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左，右焦点，过 $F_1$ 的直线 $l$ 与双曲线的左，右两支分别交于点 $A, B$ ，点 $T$ 在 $x$ 轴上，满足 $\overrightarrow{B T}=3 \overrightarrow{A F_2}$ ，且 $B F_2$ 经过 $ B F_1 T$ 的内切圆圆心，则双曲线 $C$ 的离心率为（ ）

$\text{A.}$ $\sqrt{3}$ $\text{B.}$ 2 $\text{C.}$ $\sqrt{7}$ $\text{D.}$ $\sqrt{13}$
已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ，过左焦点 $F$ 作一条渐近线的垂线，记垂足为 $P$ ，点 $Q$ 在双曲线 上，且满 $\overrightarrow{F P}=2 \overrightarrow{F Q}$ ，则双曲线的离心率为（ ）

$\text{A.}$ $\sqrt{6}$ $\text{B.}$ $\sqrt{2}$ $\text{C.}$ $\sqrt{3}$ $\text{D.}$ 2
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1(-c, 0), F_2(c, 0)$ ，若椭圆 $C$ 上存在一点 $M$ 使得 $\triangle M F_1 F_2$的内切圆半径为 $\frac{c}{2}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围是（ ）
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{3}{5}\right]$ $\text{B.}$ $\left(0, \frac{4}{5}\right]$ $\text{C.}$ $\left[\frac{3}{5}, 1\right)$ $\text{D.}$ $\left[\frac{4}{5}, 1\right)$
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(0, b)$ ，若 $C$ 上的任意一点 $P$ 都满足 $|P B| \geq b$ ，则 $C$ 的离心率取值范围是（ ）

$\text{A.}$ $\left(1, \frac{\sqrt{5}+1}{2}\right]$ $\text{B.}$ $\left[\frac{\sqrt{5}+1}{2},+\infty\right)$ $\text{C.}$ $(1, \sqrt{2}]$ $\text{D.}$ $[\sqrt{2},+\infty)$
填空题
椭圆是特别重要的一类圆锥曲线，是平面解析几何的核心，它集中地体现了解析几何的基本思想。而黄金椭圆是一条优美曲线，生活中许多椭圆形的物品，都是黄金椭圆，它完美绝伦，深受人们的喜爱．黄金椭圆具有以下性质：（1）以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点，（2）长轴长，短轴长，焦距依次组成等比数列．根据以上信息，黄金椭圆的离心率为
已知直线 $l$ 与椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 交于 $M, N$ 两点，线段 $M N$ 中点 $P$ 在直线 $x=-1$ 上，且线段 $M N$ 的垂直平分线交 $x$ 轴于点 $Q\left(-\frac{3}{4}, 0\right)$ ，则椭圆 $E$ 的离心率是
已知直线 $x=2 m$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1(m>0, n>0)$ 交于 $A, B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 的上方），$A$ 为 $B D$ 的中点，过点 $A$ 作直线与 $y$ 轴垂直且交于点 $E$ ，若 VBDE 的内心到 $y$ 轴的距离不小于 $\frac{3}{2} m$ ，则双曲线 $C$ 的离心率取值范围是
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$ ，若在 $C$ 上存在点 $P$（不是顶点），使得 $\angle P F_2 F_1=3 \angle P F_1 F_2$ ，则 $C$ 的离心率的取值范围为

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