在平面直角坐标系 $x o y$ 中，$F_1, F_2$ 分别是双曲线 C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左，右焦点，过 $F_1$ 的直线 $l$ 与双曲线的左，右两支分别交于点 $A, B$ ，点 $T$ 在 $x$ 轴上，满足 $\overrightarrow{B T}=3 \overrightarrow{A F_2}$ ，且 $B F_2$ 经过 $ B F_1 T$ 的内切圆圆心，则双曲线 $C$ 的离心率为（ ）
$\text{A.}$ $\sqrt{3}$
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $\sqrt{7}$
$\text{D.}$ $\sqrt{13}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$