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已知直线 $x=2 m$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1(m>0, n>0)$ 交于 $A, B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 的上方），$A$ 为 $B D$ 的中点，过点 $A$ 作直线与 $y$ 轴垂直且交于点 $E$ ，若 VBDE 的内心到 $y$ 轴的距离不小于 $\frac{3}{2} m$ ，则双曲线 $C$ 的离心率取值范围是
                        
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