单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗＂叠罗汉＂已被列入省级非物质文化遗产保护项目，至今已有 500 多年的历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光彩夺目，好看又壮观．小明同学在研究数列 $\left\{a_n\right\}$ 时，发现其递推公式 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n,\left(n \in N^*\right)$ 就可以利用＂叠罗汉＂的思想来处理，即 $\begin{gathered} a_3=a_1+a_2 \\ a_4=a_3+a_2=a_1+a_2+a_2 \\ a_5=a_4+a_3=a_1+a_2+a_2+a_3\end{gathered}$ ，如果该数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前两项分别为 $a_1=1, a_2=2$ ，其前 $n$ ．．．．．
项和记为 $S_n$ ，若 $a_{2023}=m$ ，则 $S_{2021}=(\quad)$
$\text{A.}$ $2 m$
$\text{B.}$ $\frac{2 m-1}{2}$
$\text{C.}$ $m+2$
$\text{D.}$ $m-2$
“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为
$\text{A.}$ 130
$\text{B.}$ 132
$\text{C.}$ 134
$\text{D.}$ 141
大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传＂大衍之数五十＂的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前 10 项依次是 $0,2,4,8,12,18,24,32,40,50$ ，则此数列的第 25项与第 24 项的差为
$\text{A.}$ 22
$\text{B.}$ 24
$\text{C.}$ 25
$\text{D.}$ 26
《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为
$\text{A.}$ 8
$\text{B.}$ 11
$\text{C.}$ 14
$\text{D.}$ 16
周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为 （） 尺
$\text{A.}$ 1.5
$\text{B.}$ 2.5
$\text{C.}$ 3.5
$\text{D.}$ 4.5
古代数学著作《九章算术》有如下的问题:“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是:“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，己知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要() 天
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ 7
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ 9
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 前 $n$ 项和 $S_n=n^2$ ，数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_n=\frac{1}{a_n \cdot a_{n+1}}, n \in N, n \geq 1 ; T_n$ 为数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和．若对任意的 $n \in N, n \geq 1$ ，不等式 $\lambda T_n < n+9 \cdot(-1)^n$ 恒成立，则实数 $\lambda$ 的取值范围为 $\qquad$ ．
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项为 1 ，公差 $d>0$ ，其前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $S_2 S_3=18$ ．
（1）求公差 $d$ ；
（2）是否存在正整数 $m, k$ 使得 $a_m+a_{m+2}+a_{m+4}+ L +a_{m+2 k}=30$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列，$a_1=1$ ，且 $a_1, a_2, a_5-1$ 成等比数列．给定 $k \in N ^*$ ，记集合 $\left\{n \mid k \leq a_n \leq 2^k, n \in N ^*\right\}$的元素个数为 $b_k$ ．
（1）求 $b_1, b_2$ 的值；
（2）求最小自然数 $n$ 的值，使得 $b_1+b_2+\ldots+b_n>2022$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}_{\text {满足：}} a_{n+1}+a_n=2 n+7\left(n \in N^*\right)$ ，且 $a_1=4$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）已知数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足：$b_n=\left\{\begin{array}{l}1, n=1, \\ \log _{(n+2)}\end{array} a_n, n \geq 2, n \in N^*\right.$ ，定义使 $b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 \cdots b_k\left(k \in N^*\right)$ 为整数 $k$ 叫做＂幸福数＂，求区间 $[1,2021]$ 内所有＂幸福数＂的和．
已知各项为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，若 $4 S_n=a_n^2+2 a_n+1$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_n=\frac{2}{a_n a_{n+1}}$ ，且数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，求证：$\frac{2}{3} \leq T_n < 1$ ．
记数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，且 $a_1=1, a_n=T_{n-1}(n \geq 2)$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $m$ 为整数，且对任意 $n \in N ^*, m \geq \frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_2}+ L +\frac{n}{a_n}$ ，求 $m$ 的最小值．
数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1=8, a_4=2$ ，且满足 $a_{n+2}=2 a_{n+1}-a_n,\left(n \in N^*\right)$
（1）求 $a_2 、 a_3$ ，并求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $S_n=\left|a_1\right|+\left|a_2\right|+\ldots+\left|a_n\right|$ ，求 $S_n$ ；
（3）设 $b_n=\frac{1}{n\left(12-a_n\right)}\left(n \in N^*\right), T_n=b_1+b_2+\ldots+b_n,\left(n \in N^*\right)$ ，是否存在最大的；正整数 $m$ ，使得对任意 $n \in N^*$ 均有 $T_n>\frac{m}{32}$ 成立？若存在求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．