已知数列 $\left\{a_n\right\}_{\text {满足：}} a_{n+1}+a_n=2 n+7\left(n \in N^*\right)$ ，且 $a_1=4$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）已知数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足：$b_n=\left\{\begin{array}{l}1, n=1, \\ \log _{(n+2)}\end{array} a_n, n \geq 2, n \in N^*\right.$ ，定义使 $b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 \cdots b_k\left(k \in N^*\right)$ 为整数 $k$ 叫做＂幸福数＂，求区间 $[1,2021]$ 内所有＂幸福数＂的和．