2023大一高数导数与微分期末考试

导出试卷

2023大一高数导数与微分期末考试

一、单选题（共 7 题），每题只有一个选项正确

1. 下列各式正确的是:

A.

lim_{x \to + \infty} \frac{\sin x}{x} = 1

B.

lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 0

C.

lim_{x \to + \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} = - e

D.

lim_{x \to - \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} = e

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

2. 当

x \to 0^{+}

时, 与

\sqrt{x}

等价的无穷小量是:

A.

\sqrt{1 + \sqrt{x}} - 1

B.

\ln (\frac{1 + x}{1 - \sqrt{x}})

C.

1 - e^{\sqrt{x}}

D.

1 - \cos \sqrt{x}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

3. 设

f (x)

在

x = a

的某邻域有定义, 则它在该点处可导的一个充分条件是

A.

lim_{h \to + \infty} h [f (a + \frac{1}{h}) - f (a)]

存在

B.

lim_{h \to 0} \frac{f (a + 2 h) - f (a + h)}{h}

存在

C.

lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a - h)}{2 h}

存在

D.

lim_{h \to 0} \frac{f (a) - f (a - h)}{h}

存在

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

4. 函数

y = 3 x^{3} - x

在区间

[0, 1]

上的最小值是:

A.

B.

没有

C.

D.

- 2 / 9

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

5. . 函数

y = 1 - x^{2}

在区间

[- 1.1]

上应用罗尔定理时, 所得到的中值=

A.

B.

C.

-1

D.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

6. 设函数

f (x) = {\begin{array}{cc} e^{a x} & x \leq 0 \\ b (1 - x^{2}) & x > 0 \end{array}

处处可导, 那么

A.

a = b = 1

B.

a = - 2, b = - 1

C.

a = 0, b = 1

D.

a = 1, b = 0

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

7. 设

x = a

为函数

y = f (x)

的极值点, 则下列论述正确的是

A.

f (a) = 0

B.

f^{'} (a) = 0

C.

f^{″} (a) = 0

D.

以上都不对

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

二、填空题（共 7 题），请把答案直接填写在答题纸上

8. 极限

lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + \cos^{3} x - 1}{(x + \sin x)^{2}} =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

9. 极限

lim_{n \to \infty} (\frac{2}{\sqrt{n^{2} + 1}} + \frac{2}{\sqrt{n^{2} + 2}} + \dots + \frac{2}{\sqrt{n^{2} + n}}) =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

10. 设函数

f (x) = {\begin{array}{cl} \frac{x^{2} + 3 x - 10}{x - 2} & x \neq 2 \\ a & x = 2 \end{array}

在点

x = 2

处连续, 则

a =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

11. 函数

f (x) = \frac{| x |}{\sin x}

的间断点为

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

12. 函数

y = 2 x^{2} - \ln x

的单调减区间为

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

13. 设函数

y = \ln \tan \sqrt{x}

, 则

d y =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

14. 椭圆曲线

{\begin{cases} x = a \cos t \\ y = b \sin t \end{cases}

在

t = \frac{π}{4}

相应的点处的切线方程为

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

三、解答题（共 10 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

15. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x \sin x} - 1}{e^{x^{2}} - 1}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

16. 求极限

lim_{x \to + \infty} {(\frac{3 + x}{6 + x})}^{\frac{x + 1}{2}}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

17. 求极限

lim_{x \to 0} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x \tan x})

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

18. 设函数

y = (2 - x)^{2} + \ln (e^{x} + \sqrt{1 + e^{2 x}})

, 求

\frac{d y}{d x}

与

d y

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

19. 设

y = f (x)

是由方程

\arctan \frac{x}{y} = \ln \sqrt{x^{2} + y^{2}}

确定的隐函数, 求

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

20. 计算函数

y = {(\frac{x}{1 + x})}^{x}

的一阶导数

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

21. 求函数

y = (x - \frac{5}{2}) \sqrt{x^{2}}

的凹凸区间与拐点

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

22. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上二阶可导, 函数

g (x) = {\begin{array}{cc} a x^{2} + b x + c & x > 0 \\ f (x) & x \leq 0 \end{array}

, 试确定常数

a, b, c

的值, 使得函数

g (x)

在

x = 0

点二阶可导.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

23. 证明：当

x > 0

时,

1 + x \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) > \sqrt{1 + x^{2}}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

24. 设函数

f (x)

在

[0, 3]

上连续, 在

(0, 3)

内可导, 且

f (0) + f (1) + f (2) = 3, f (3) = 1

. 试证: 必存在一点

ξ \in (0, 3)

, 使得

f^{'} (ξ) = 0

。

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

非会员每天可以查看15道试题。开通会员，海量试题无限制查看。

无限看试题
下载试题
组卷

开通会员

热点推荐

试卷二维码

分享此二维码到群，让更多朋友参与

试卷白板

试卷白板提供了一个简单的触摸书写板，可供老师上课、或者视频直播时，直接利用白板给学生讲解试题，如有意见，欢迎反馈。