一、解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
1. 写出下列二次型的矩阵，并求它们的秩.
(1) .
(2) .
(3) .
2. 二次型
试求可逆矩阵 ，使得 的二次型矩阵 与 的二次型矩阵 合同，即 .
3. 求利用正交变换将下列二次型化为标准形的正交变换矩阵及相应的标准形. .
4. 求利用正交变换将下列二次型化为标准形的正交变换矩阵及相应的标准形. .
5. 设二次型 ，记
(1) 证明二次型 对应的矩阵为 ；
(2) 若 正交且均为单位向量，证明 在正交变换下的标准形为 .
6. 设二次型 经正交变换
化为二次型
其中 .
(1) 求 的值;
(2) 求正交矩阵 .
7. 已知二次型 .
(1) 求正交变换 将 化为标准形；
(2) 证明: 。