2025年普通高等学校《高等数学下》期末考试模拟试卷

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2025年普通高等学校《高等数学下》期末考试模拟试卷

一、单选题（共 7 题），每题只有一个选项正确

1. 已知

f (x, y) = \frac{x y}{x^{2} + y}

, 则

f (x y, \frac{x}{y}) = ()

A.

\frac{x}{x y^{3} + 1}

B.

\frac{y}{x y^{3} + 1}

C.

\frac{x y}{x^{2} y^{2} + 1}

D.

\frac{x y}{x y^{3} + 1}

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2. 设有三元方程

x y - z \ln y + e^{x z} = 1

, 则根据隐函数存在定理, 存在点

(0, 1, 1)

的一个邻域，在此邻域内该方程（）

A.

只能确定一个具有连续偏导数的隐函数

z = z (x, y)

B.

可确定两个具有连续偏导数的隐函数

y = y (x, z)

和

z = z (x, y)

C.

可确定两个具有连续偏导数的隐函数

x = x (y, z)

和

z = z (x, y)

D.

可确定两个具有连续偏导数的隐函数

x = x (y, z)

和

y = y (x, z)

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3. 设

f (x, y, z)

是

k

次齐次函数, 即

f (t x, t y, t z) = t^{k} f (x, y, z), λ

为某一常数, 则结论正确的是 ( )

A.

x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} + z \frac{\partial f}{\partial z} = k^{λ} f (x, y, z)

B.

x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} + z \frac{\partial f}{\partial z} =

λ^{k} f (x, y, z)

C.

x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} + z \frac{\partial f}{\partial z} = k f (x, y, z)

D.

x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} + z \frac{\partial f}{\partial z} =

f (x, y, z)

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4. 累次积分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{0}^{\cos θ} f (r \cos θ, r \sin θ) r d r

可以写为

()

A.

\int_{0}^{1} d y \int_{0}^{\sqrt{y - y^{2}}} f (x, y) d x

B.

\int_{0}^{1} d y \int_{0}^{\sqrt{1 - y^{2}}} f (x, y) d x

C.

\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} f (x, y) d y

D.

\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{\sqrt{x - x^{2}}} f (x, y) d y

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5. 设区域

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 4, x \geq 0, y \geq 0}, f (x)

为 D 上的正值连续函数,

a, b

为常数, 则

\iint_{D} \frac{a \sqrt{f (x)} + b \sqrt{f (y)}}{\sqrt{f (x)} + \sqrt{f (y)}} d σ = ()

A.

a b π

B.

\frac{a b π}{2}

C.

(a + b) π

D.

\frac{a + b}{2} π

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6. 设

u_{n} = (- 1)^{n} \ln (1 + \frac{1}{\sqrt{n}})

, 则级数

()

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

与

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}^{2}

都收敛

B.

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

与

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}^{2}

都发散

C.

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

收敛, 而

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}^{2}

发散

D.

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

发散, 而

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}^{2}

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7. 若

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (x - 1)^{n}

在

x = - 1

处收敛, 那么当

x = 2

时该级数

()

A.

条件收敛

B.

绝对收敛

C.

发散

D.

敛散性不变

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{6^{k}}{(3^{k} - 2^{k}) (3^{k + 1} - 2^{k + 1})} =

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9. 设有一半径为 R 的球体,

P_{0}

是此球的表面上的一个定点, 球体上任意一点的密度都与该点到此定点距离的平方成正比 (比例系数

k > 0

), 则此球体的重心位置为

。(圆心在原点,

P_{0} (R, 0, 0)

)

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10. 重积分

\int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} min {x, y} e^{- x^{2} - y^{2}} d x d y = (\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- \frac{t^{2}}{2}} d t =

\sqrt{2 π}

，此为泊松积分）

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11. 设

z = z (x, y)

是由方程

\frac{x}{z} = \ln \frac{z}{y}

所确定的函数, 则

\frac{\partial z}{\partial y} =

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三、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

12. 求幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}} x^{n - 1}

的收敛域, 并求其和函数。

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13. 求抛物线

y = x^{2}

和直线

x - y - 2 = 0

之间的最短距离。

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14. 求经过直线

{\begin{matrix} x + 5 y + z = 0 \\ x - z + 4 = 0 \end{matrix}

且与平面

x - 4 y - 8 z + 12 = 0

交成

\frac{π}{4}

的平面方程。

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15. 试计算曲面积分

I = \iint_{Σ} \frac{2 d y d z}{x \cos^{2} x} + \frac{d z d x}{\cos^{2} y} - \frac{d x d y}{z \cos^{2} z}

, 其中

Σ

是球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} =

1 的外侧。

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16. 计算

\iint_{D} \frac{(x + y) \ln (1 + \frac{y}{x})}{\sqrt{1 - x - y}} d x d y

, 其中

D : x + y \leq 1, x \geq 0, y \geq 0

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