单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值, 则 $A$ 的伴随矩阵 $A$ * 的特征值之一是
$\text{A.}$ $\lambda^{-1}| A |^n$.
$\text{B.}$ $\lambda^{-1}| A |$.
$\text{C.}$ $\lambda| A |$.
$\text{D.}$ $\lambda| A |^n$.
设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵, $P$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, 已知 $n$ 维列向量 $\alpha$ 是 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量, 则矩阵 $\left( P ^{-1} A P \right)^{ T }$ 属于特征值 $\lambda$ 的特征向量是
$\text{A.}$ $P ^{-1} \alpha$.
$\text{B.}$ $P ^{ T } \alpha$.
$\text{C.}$ $P \alpha$.
$\text{D.}$ $\left( P ^{-1}\right)^{ T } \alpha$.
设 $\alpha$ 为 $n$ 维单位列向量, $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵,则
$\text{A.}$ $E - \alpha \alpha ^{ T }$ 不可逆.
$\text{B.}$ $E + \alpha \alpha ^{ T }$ 不可逆.
$\text{C.}$ $E +2 \alpha \alpha ^{ T }$ 不可逆.
$\text{D.}$ $E -2 \alpha \alpha ^{ T }$ 不可逆.
设 $\lambda_1, \lambda_2$ 是矩阵 $A$ 的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别 $\alpha _1, \alpha _2$, 则 $\alpha _1$, $A \left( \alpha _1+ \alpha _2\right)$ 线性无关的充分必要条件是
$\text{A.}$ $\lambda_1 \neq 0$.
$\text{B.}$ $\lambda_2 \neq 0$.
$\text{C.}$ $\lambda_1=0$.
$\text{D.}$ $\lambda_2=0$.
设矩阵 $B =\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$. 已知矩阵 $A$ 相似于 $B$, 则秩 $( A -2 E )$ 与秩 $( A - E )$ 之和
等于
$\text{A.}$ 2 .
$\text{B.}$ 3 .
$\text{C.}$ 4 .
$\text{D.}$ 5 .
设 $A$ 为 3 阶矩阵, $P$ 为 3 阶可逆矩阵, 且 $P ^{-1} A P =\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$, 若 $P =\left( \alpha _1, \alpha _2\right.$, $\left.\alpha _3\right), Q =\left( \alpha _1+ \alpha _2, \alpha _2, \alpha _3\right)$, 则 $Q^{-1} A Q =$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.
矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ a & b & a \\ 1 & a & 1\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 相似的充分必要条件为
$\text{A.}$ $a=0, b=2$.
$\text{B.}$ $a=0, b$ 为任意常数.
$\text{C.}$ $a=2, b=0$.
$\text{D.}$ $a=2, b$ 为任意常数.
设有矩阵 $A =\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), C =\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$, 则
$\text{A.}$ $A$ 与 $C$ 相似, $B$ 与 $C$ 相似.
$\text{B.}$ $A$ 与 $C$ 相似, $B$ 与 $C$ 不相似.
$\text{C.}$ $A$ 与 $C$ 不相似, $B$ 与 $C$ 相似.
$\text{D.}$ $A$ 与 $C$ 不相似, $B$ 与 $C$ 不相似.
$A$ 为 4 阶实对称矩阵, 且 $A ^2+ A = O$, 若 $A$ 的秩为 3 , 则 $A$ 相似于
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{llll}-1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$.
下列矩阵中, 与矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 相似的为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.