线性代数基础训练系列（特征向量与特征值）

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线性代数基础训练系列（特征向量与特征值）

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 设

A

为

n

阶可逆矩阵,

λ

是

A

的一个特征值, 则

A

的伴随矩阵

A

* 的特征值之一是

A.

λ^{- 1} | A |^{n}

B.

λ^{- 1} | A |

C.

λ | A |

D.

λ | A |^{n}

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2. 设

A

是

n

阶实对称矩阵,

P

是

n

阶可逆矩阵, 已知

n

维列向量

α

是

A

的属于特征值

λ

的特征向量, 则矩阵

{(P^{- 1} A P)}^{T}

属于特征值

λ

的特征向量是

A.

P^{- 1} α

B.

P^{T} α

C.

P α

D.

{(P^{- 1})}^{T} α

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3. 设

α

为

n

维单位列向量,

E

为

n

阶单位矩阵,则

A.

E - α α^{T}

不可逆.

B.

E + α α^{T}

不可逆.

C.

E + 2 α α^{T}

不可逆.

D.

E - 2 α α^{T}

不可逆.

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4. 设

λ_{1}, λ_{2}

是矩阵

A

的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别

α_{1}, α_{2}

, 则

α_{1}

A (α_{1} + α_{2})

线性无关的充分必要条件是

A.

λ_{1} \neq 0

B.

λ_{2} \neq 0

C.

λ_{1} = 0

D.

λ_{2} = 0

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5. 设矩阵

B = (\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array})

. 已知矩阵

A

相似于

B

, 则秩

(A - 2 E)

与秩

(A - E)

之和

等于

A.

2 .

B.

3 .

C.

4 .

D.

5 .

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6. 设

A

为 3 阶矩阵,

P

为 3 阶可逆矩阵, 且

P^{- 1} A P = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

, 若

P = (α_{1}, α_{2}

α_{3}), Q = (α_{1} + α_{2}, α_{2}, α_{3})

, 则

Q^{- 1} A Q =

A.

(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

B.

(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

C.

(\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

D.

(\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

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7. 矩阵

(\begin{array}{lll} 1 & a & 1 \\ a & b & a \\ 1 & a & 1 \end{array})

与

(\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

相似的充分必要条件为

A.

a = 0, b = 2

B.

a = 0, b

为任意常数.

C.

a = 2, b = 0

D.

a = 2, b

为任意常数.

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8. 设有矩阵

A = (\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}), B = (\begin{array}{lll} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}), C = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

, 则

A.

A

与

C

相似,

B

与

C

相似.

B.

A

与

C

相似,

B

与

C

不相似.

C.

A

与

C

不相似,

B

与

C

相似.

D.

A

与

C

不相似,

B

与

C

不相似.

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A

为 4 阶实对称矩阵, 且

A^{2} + A = O

, 若

A

的秩为 3 , 则

A

相似于

A.

(\begin{array}{llll} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})

B.

(\begin{array}{llll} 1 \\ 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array})

C.

(\begin{array}{llll} 1 \\ - 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array})

D.

(\begin{array}{llll} - 1 \\ - 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array})

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10. 下列矩阵中, 与矩阵

(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

相似的为

A.

(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

B.

(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

C.

(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

D.

(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

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