高等数学同步训练提高版(微分方程)

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高等数学同步训练提高版(微分方程)

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

1. 设

y = y (x)

是二阶常系数微分方程

y^{''} + p y^{'} + q y = e^{3 x}

满足初始条

y (0) = y^{'} (0) =

0 的特解，则当

x \to 0

，函数

\frac{\ln (1 + x^{2})}{y (x)}

的极限

A.

不存在.

B.

等于 1 .

C.

等于 2 .

D.

等于 3 .

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2. 若连续函数

f (x)

满足关系式

f (x) = \int_{0}^{2 x} f (\frac{t}{2}) d t + \ln 2

, 则

f (x)

等于

A.

e^{x} \ln 2

B.

e^{2 x} \ln 2

C.

e^{x} + \ln 2

D.

e^{2 x} + \ln 2

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3. 已知

y = \frac{x}{\ln x}

是微分方程

y^{'} = \frac{y}{x} + φ (\frac{x}{y})

的解, 则

φ (\frac{x}{y})

的表达式为

A.

- \frac{y^{2}}{x^{2}}

B.

\frac{y^{2}}{x^{2}}

C.

- \frac{x^{2}}{y^{2}}

D.

\frac{x^{2}}{y^{2}}

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4. 设

y_{1}, y_{2}

是一阶线性非齐次微分方程

y^{'} + p (x) y = q (x)

的两个特解, 若常数

λ, μ

使

λ y_{1} + μ y_{2}

是该方程的解，

λ y_{1} - μ y_{2}

是对应的齐次方程的解，则

A.

λ = \frac{1}{2}, μ = \frac{1}{2}

B.

λ = - \frac{1}{2}, μ = - \frac{1}{2}

C.

λ = \frac{2}{3}, μ = \frac{1}{3}

D.

λ = \frac{2}{3}, μ = \frac{2}{3}

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5. 设非齐次线性微分方程

y^{'} + P (x) y = Q (x)

有两个不同的解

y_{1} (x), y_{2} (x), C

为任意常数，则该方程的通解是

A.

C [y_{1} (x) - y_{2} (x)]

。

B.

y_{1} (x) + C [y_{1} (x) - y_{2} (x)]

C.

C [y_{1} (x) + y_{2} (x)]

D.

y_{1} (x) + C [y_{1} (x) + y_{2} (x)]

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6. 函数

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- 2 x} + x e^{x}

满足的一个微分方程是

A.

y^{''} - y^{'} - 2 y = 3 x e^{x}

B.

y^{''} - y^{'} - 2 y = 3 e^{x}

C.

y^{''} + y^{'} - 2 y = 3 x e^{x}

D.

y^{''} + y^{'} - 2 y = 3 e^{x}

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7. 微分方程

y^{''} + y = x^{2} + 1 + \sin x

的特解形式可设为

A.

y^{*} = a x^{2} + b x + c + x (A \sin x + B \cos x)

B.

y^{*} = x (a x^{2} + b x + c + A \sin x + B \cos x)

C.

y^{*} = a x^{2} + b x + c + A \sin x

D.

y^{*} = a x^{2} + b x + c + A \cos x

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8. 微分方程

y^{''} - 4 y^{'} + 8 y = e^{2 x} (1 + \cos 2 x)

的特解可设为

y^{*} =

A.

A e^{2 x} + e^{2 x} (B \cos 2 x + C \sin 2 x)

B.

A x e^{2 x} + e^{2 x} (B \cos 2 x + C \sin 2 x)

C.

A e^{2 x} + x e^{2 x} (B \cos 2 x + C \sin 2 x)

D.

A x e^{2 x} + x e^{2 x} (B \cos 2 x + C \sin 2 x)

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9. . 微分方程

y^{''} - y = e^{x} + 1

的一个特解应具有形式 (式中

a, b

为常数)

A.

a e^{x} + b

B.

a x e^{x} + b

C.

a e^{x} + b x

D.

a x e^{x} + b x

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10. 设线性无关的函数

y_{1}, y_{2}, y_{3}

都是二阶非齐次线性方程

y^{''} + p (x) y^{'} + q (x) y =

f (x)

的解,

C_{1}, C_{2}

是任意常数, 则该非齐次方程的通解是

A.

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} + y_{3}

B.

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} - (C_{1} + C_{2}) y_{3}

C.

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} - (1 - C_{1} - C_{2}) y_{3}

D.

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} + (1 - C_{1} - C_{2}) y_{3}

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11. 在下列微分方程中, 以

y = C_{1} e^{x} + C_{2} \cos 2 x + C_{3} \sin 2 x (C_{1}, C_{2}, C_{3}

为任意常数）为通解的是

A.

y^{'''} + y^{''} - 4 y^{'} - 4 y = 0

B.

y^{'''} + y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = 0

C.

y^{'''} - y^{''} - 4 y^{'} + 4 y = 0

D.

y^{'''} - y^{''} + 4 y^{'} - 4 y = 0

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12. 具有特解

y_{1} = e^{- x}, y_{2} = 2 x e^{- x}, y_{3} = 3 e^{x}

的 3 阶常系数齐次线性微分方程是

A.

y^{''''} - y^{''} - y^{'} + y = 0

B.

y^{'''} + y^{''} - y^{'} - y = 0

C.

y^{'''} - 6 y^{''} + 11 y^{'} - 6 y = 0

D.

y^{'''} - 2 y^{''} - y^{'} + 2 y = 0

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