单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
设 $y=y(x)$ 是二阶常系数微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y= e ^{3 x}$ 满足初始条 $y(0)=y^{\prime}(0)=$ 0 的特解，则当 $x \rightarrow 0$ ，函数 $\frac{\ln \left(1+x^2\right)}{y(x)}$ 的极限
$\text{A.}$ 不存在.
$\text{B.}$ 等于 1 .
$\text{C.}$ 等于 2 .
$\text{D.}$ 等于 3 .
若连续函数 $f(x)$ 满足关系式 $f(x)=\int_0^{2 x} f\left(\frac{t}{2}\right) d t+\ln 2$, 则 $f(x)$ 等于
$\text{A.}$ $e ^x \ln 2$.
$\text{B.}$ $e ^{2 x} \ln 2$.
$\text{C.}$ $e ^x+\ln 2$.
$\text{D.}$ $e ^{2 x}+\ln 2$.
已知 $y=\frac{x}{\ln x}$ 是微分方程 $y^{\prime}=\frac{y}{x}+\varphi\left(\frac{x}{y}\right)$ 的解, 则 $\varphi\left(\frac{x}{y}\right)$ 的表达式为
$\text{A.}$ $-\frac{y^2}{x^2}$.
$\text{B.}$ $\frac{y^2}{x^2}$.
$\text{C.}$ $-\frac{x^2}{y^2}$.
$\text{D.}$ $\frac{x^2}{y^2}$.
设 $y_1, y_2$ 是一阶线性非齐次微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的两个特解, 若常数 $\lambda, \mu$使 $\lambda y_1+\mu y_2$ 是该方程的解， $\lambda y_1-\mu y_2$ 是对应的齐次方程的解，则
$\text{A.}$ $\lambda=\frac{1}{2}, \mu=\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $\lambda=-\frac{1}{2}, \mu=-\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{1}{3}$.
$\text{D.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{2}{3}$.
设非齐次线性微分方程 $y^{\prime}+P(x) y=Q(x)$ 有两个不同的解 $y_1(x), y_2(x), C$ 为任意常数，则该方程的通解是
$\text{A.}$ $C\left[y_1(x)-y_2(x)\right]$ 。
$\text{B.}$ $y_1(x)+C\left[y_1(x)-y_2(x)\right]$.
$\text{C.}$ $C\left[y_1(x)+y_2(x)\right]$.
$\text{D.}$ $y_1(x)+C\left[y_1(x)+y_2(x)\right]$.
函数 $y=C_1 e ^x+C_2 e ^{-2 x}+x e ^x$ 满足的一个微分方程是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 x e ^x$.
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 e ^x$.
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 x e ^x$.
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 e ^x$.
微分方程 $y^{\prime \prime}+y=x^2+1+\sin x$ 的特解形式可设为
$\text{A.}$ $y^*=a x^2+b x+c+x(A \sin x+B \cos x)$.
$\text{B.}$ $y^*=x\left(a x^2+b x+c+A \sin x+B \cos x\right)$.
$\text{C.}$ $y^*=a x^2+b x+c+A \sin x$.
$\text{D.}$ $y^*=a x^2+b x+c+A \cos x$.
微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+8 y= e ^{2 x}(1+\cos 2 x)$ 的特解可设为 $y^*=$
$\text{A.}$ $A e ^{2 x}+ e ^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$.
$\text{B.}$ $A x e ^{2 x}+ e ^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$.
$\text{C.}$ $A e ^{2 x}+x e ^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$.
$\text{D.}$ $A x e ^{2 x}+x e ^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$.
. 微分方程 $y^{\prime \prime}-y= e ^x+1$ 的一个特解应具有形式 (式中 $a, b$ 为常数)
$\text{A.}$ $a e ^x+b$.
$\text{B.}$ $a x e ^x+b$.
$\text{C.}$ $a e ^x+b x$.
$\text{D.}$ $a x e ^x+bx$.
设线性无关的函数 $y_1, y_2, y_3$ 都是二阶非齐次线性方程 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=$ $f(x)$ 的解, $C_1, C_2$ 是任意常数, 则该非齐次方程的通解是
$\text{A.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2+y_3$.
$\text{B.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2-\left(C_1+C_2\right) y_3$.
$\text{C.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2-\left(1-C_1-C_2\right) y_3$.
$\text{D.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2+\left(1-C_1-C_2\right) y_3$.
在下列微分方程中, 以 $y=C_1 e ^x+C_2 \cos 2 x+C_3 \sin 2 x\left(C_1, C_2, C_3\right.$ 为任意常数）为通解的是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-4 y=0$.
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0$.
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0$.
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-4 y=0$.
具有特解 $y_1= e ^{-x}, y_2=2 x e ^{-x}, y_3=3 e ^x$ 的 3 阶常系数齐次线性微分方程是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0$.
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-6 y^{\prime \prime}+11 y^{\prime}-6 y=0$.
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0$.