单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知向量 $a=(8,-2), b=(m, 1)$, 若 $\vec{a}=\lambda \vec{b}$, 则实数 $m$ 的值是
$\text{A.}$ -4
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 4
已知向量 $\vec{a}=(-3,1), \vec{b}=(m, 2)$. 若 $\vec{a} \| \vec{b}$, 则 $m=(\quad)$
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ -6
$\text{C.}$ $-\frac{3}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$
如图, 平行四边形 $A B C D$ 中, 点 $E$ 为 $B C$ 的中点, 点 $F$ 在线段 $A E$ 上, 且 $A F=2 F E$, 记 $\vec{a}=\overrightarrow{A B}, \vec{b}=\overrightarrow{A D}$,则 $\overrightarrow{B F}= $
$\text{A.}$ $\frac{1}{3} \vec{a}-\frac{2}{3} \vec{b}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{4} \vec{a}+\frac{2}{3} \vec{b}$
$\text{C.}$ $-\frac{5}{8} \vec{a}+\frac{1}{3} \vec{b}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{3} \vec{a}+\frac{1}{3} \vec{b}$
向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 在正方形网格中的位置如图所示, 若 $\vec{c}=x \vec{a}+y \vec{b}(x, y \in R)$, 则 $x+y=$
$\text{A.}$ $-\frac{5}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{5}{2}$
$\text{C.}$ -4
$\text{D.}$ 4
如图, 在平行四边形 $A B C D$ 中, $M$ 是边 $C D$ 的中点, $N$ 是 $A M$ 的一个三等分点 $(|A N| < |N M|)$, 若存在实数 $\lambda$ 和 $\mu$ ，使得 $\overrightarrow{B N}=\lambda \overrightarrow{A B}+\mu \overrightarrow{A D} ，$ 则 $\lambda+\mu=$
$\text{A.}$ $\frac{5}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $-\frac{5}{4}$
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\overrightarrow{A N}=2 \overrightarrow{N C}, P$ 是 $B N$ 上一点, 若 $\overrightarrow{A P}=t \overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}$, 则实数 $t$ 的值为 ( )
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\overrightarrow{A D}=\frac{1}{4} \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A E}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}, B E$ 和 $C D$ 相交于点 $F$, 则向量 $\overrightarrow{A F}$ 等于 (）
$\text{A.}$ $\frac{1}{7} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{7} \overrightarrow{A C}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{7} \overrightarrow{A B}+\frac{3}{7} \overrightarrow{A C}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{14} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{14} \overrightarrow{A C}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{14} \overrightarrow{A B}+\frac{3}{14} \overrightarrow{A C}$
$\triangle A B C$ 中, $D$ 为 $A C$ 上一点且满足 $\overrightarrow{A D}=\frac{1}{3} \overrightarrow{D C}$, 若 $P$ 为 $B D$ 上一点, 且满足 $\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A B}+\mu \overrightarrow{A C}, \lambda, \mu$ 为正实数, 则下列结论正确的是（）
$\text{A.}$ $\lambda \mu$ 的最小值为 $\frac{1}{16}$
$\text{B.}$ $\lambda \mu$ 的最大值为 1
$\text{C.}$ $\frac{1}{\lambda}+\frac{1}{4 \mu}$ 的最小值为 4
$\text{D.}$ $\frac{1}{\lambda}+\frac{1}{4 \mu}$ 的最大值为 16
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
设向量 $\vec{a}=(k, 2), \vec{b}=(1,-1)$, 则下列叙述错误的是 $(\quad)$
$\text{A.}$ 若 $k < -2$ 时, 则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为针角
$\text{B.}$ $|\vec{a}|$ 的最小值为 2
$\text{C.}$ 与 $\vec{b}$ 共线的单位向量只有一个为 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
$\text{D.}$ 若 $|\vec{a}|=2|\vec{b}|$, 则 $k=2 \sqrt{2}$ 或 $-2 \sqrt{2}$
已知向量 $\vec{a}=(1,1), \vec{b}=(\cos \theta, \sin \theta)(0 \leq \theta \leq \pi)$, 则下列命题不正确的是
$\text{A.}$ $|\vec{b}|=12$
$\text{B.}$ 若 $\vec{a} / / \vec{b}$, 则 $\tan \theta=1$
$\text{C.}$ 存在唯一的 $\theta$ 使得 $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$
$\text{D.}$ $|\vec{a}+\vec{b}|$ 的最大值为 $\sqrt{5}$
设点 $D$ 是 $\triangle A B C$ 所在平面内一点, 则下列说法正确的有 ( )
$\text{A.}$ 若 $\overrightarrow{A D}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$, 则点 $D$ 是边 $B C$ 的中点
$\text{B.}$ 若 $\overrightarrow{A D}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$, 则点 $D$ 是 $\triangle A B C$ 的重心
$\text{C.}$ 若 $\overrightarrow{A D}=2 \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}$, 则点 $D$ 在边 $B C$ 的延长线上
$\text{D.}$ 若 $\overrightarrow{A D}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}$, 且 $x+y=\frac{1}{2}$, 则 $\triangle B C D$ 是 $\triangle A B C$ 面积的一半
如图所示, 设 $O x, O y$ 是平面内相交成 $\theta\left(\theta \neq \frac{\pi}{2}\right)$ 角的两条数轴, $\overrightarrow{e_1} \overrightarrow{e_2}$ 分别是与 $x, y$ 轴正方向同向的单位向量, 则称平面坐标系 $x O y$ 为 $\theta$ 斜坐标系, 若 $\overrightarrow{O M}=x \overrightarrow{e_1}+y \overrightarrow{e_2}$, 则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 $\overrightarrow{O M}$ 的斜坐标, 记为 $\overrightarrow{O M}=(x, y)$. 在 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 的斜坐标系中, $\vec{a}=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \vec{b}=(\sqrt{3},-1)$. 则下列结论中, 错误的是 ( )
$\text{A.}$ $\vec{a}-\vec{b}=\left(\frac{1}{2}-\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}+1\right)$
$\text{B.}$ $|\vec{a}|=1$
$\text{C.}$ $\vec{a} \perp \vec{b}$
$\text{D.}$ $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\left(\frac{2 \sqrt{2}+\sqrt{3}}{5}, \frac{2 \sqrt{6}+3}{5}\right)$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知向量 $\vec{a}=(3,-1), \vec{b}=(1, \lambda)$, 若 $|\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2$, 则$\lambda=$ $\qquad$
在 $\triangle A B C$ 中, $E$ 为 $A C$ 的中点, $D$ 是线段 $B E$ 上的动点, 若 $\overrightarrow{A D}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}$, 则 $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$ 的最小值为
在 $\triangle A B C$ 中 $\overrightarrow{B E}=\frac{1}{2} \overrightarrow{E C}, \overrightarrow{B F}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B C})$, 点 $P$ 为 $A E$ 与 $B F$ 的交点, $\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A B}+\mu \overrightarrow{A C}$, 则 $\lambda-\mu=$
已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$, 满足 $2|\vec{a}|=2|\vec{b}|=|\vec{c}|=2$, 且 $\vec{a} \cdot \vec{b}=\frac{1}{2}, \vec{c} \cdot(\vec{a}-\vec{b})=0$, 则 $\vec{b} \cdot \vec{c}=$