设点 $D$ 是 $\triangle A B C$ 所在平面内一点, 则下列说法正确的有 ( )
A. 若 $\overrightarrow{A D}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$, 则点 $D$ 是边 $B C$ 的中点
B. 若 $\overrightarrow{A D}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$, 则点 $D$ 是 $\triangle A B C$ 的重心
C. 若 $\overrightarrow{A D}=2 \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}$, 则点 $D$ 在边 $B C$ 的延长线上
D. 若 $\overrightarrow{A D}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}$, 且 $x+y=\frac{1}{2}$, 则 $\triangle B C D$ 是 $\triangle A B C$ 面积的一半