如图所示, 设 $O x, O y$ 是平面内相交成 $\theta\left(\theta \neq \frac{\pi}{2}\right)$ 角的两条数轴, $\overrightarrow{e_1} \overrightarrow{e_2}$ 分别是与 $x, y$ 轴正方向同向的单位向量, 则称平面坐标系 $x O y$ 为 $\theta$ 斜坐标系, 若 $\overrightarrow{O M}=x \overrightarrow{e_1}+y \overrightarrow{e_2}$, 则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 $\overrightarrow{O M}$ 的斜坐标, 记为 $\overrightarrow{O M}=(x, y)$. 在 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 的斜坐标系中, $\vec{a}=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \vec{b}=(\sqrt{3},-1)$. 则下列结论中, 错误的是 ( )
A
$\vec{a}-\vec{b}=\left(\frac{1}{2}-\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}+1\right)$
B
$|\vec{a}|=1$
C
$\vec{a} \perp \vec{b}$
D
$\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\left(\frac{2 \sqrt{2}+\sqrt{3}}{5}, \frac{2 \sqrt{6}+3}{5}\right)$
E
F