如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\overrightarrow{A D}=\frac{1}{4} \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A E}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}, B E$ 和 $C D$ 相交于点 $F$, 则向量 $\overrightarrow{A F}$ 等于 (）
A. $\frac{1}{7} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{7} \overrightarrow{A C}$
B. $\frac{1}{7} \overrightarrow{A B}+\frac{3}{7} \overrightarrow{A C}$
C. $\frac{1}{14} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{14} \overrightarrow{A C}$
D. $\frac{1}{14} \overrightarrow{A B}+\frac{3}{14} \overrightarrow{A C}$