$\triangle A B C$ 中, $D$ 为 $A C$ 上一点且满足 $\overrightarrow{A D}=\frac{1}{3} \overrightarrow{D C}$, 若 $P$ 为 $B D$ 上一点, 且满足 $\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A B}+\mu \overrightarrow{A C}, \lambda, \mu$ 为正实数, 则下列结论正确的是（）
A. $\lambda \mu$ 的最小值为 $\frac{1}{16}$
B. $\lambda \mu$ 的最大值为 1
C. $\frac{1}{\lambda}+\frac{1}{4 \mu}$ 的最小值为 4
D. $\frac{1}{\lambda}+\frac{1}{4 \mu}$ 的最大值为 16