单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知点 $A(1,1,1), B(0,1,0), C(-1,0,1)$, 则点 $A$ 到直线 $B C$ 的距离是 $(\quad)$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{3}$
$\text{D.}$ 2
在长方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $A B=B C=1, A A_1=\sqrt{3}$, 则异面直线 $A D_1$ 与 $D B_1$ 所成角的余弦值为 ( )
$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}}{6}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
如图所示, 在长方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $A D=A A_1=2, A B=4$, 点 $E$ 是棱 $A B$ 的中点, 则点 $E$ 到平面 $A C D_1$的距离为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{4}{3}$
$\text{D.}$ $\sqrt{2}$
已知正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的棱长为 1 , 点 $P$ 在线段 $B D_1$ 上, 且 $P B=2 P D_1$, 则 $A P$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为（（）
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
如图所示, 正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的棱长为 $2, E, F$ 分别为 $A A_1, A B$ 的中点, 点 $P$ 是正方体表面上的动点, 若 $C_1 P / /$ 平面 $C D_1 E F$, 则 $P$ 点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为 ( )
$\text{A.}$ $\sqrt{2}+\sqrt{5}$
$\text{B.}$ $\sqrt{2}+2 \sqrt{5}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{2}+\sqrt{5}$
$\text{D.}$ $2 \sqrt{2}+2 \sqrt{5}$
在长方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $A B=1, B C=2, A A_1=3$, 则异面直线 $A C$ 与 $B C_1$ 之间的距离是 $(）$
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{7}}{7}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{6}}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{6}{7}$
如图, 在三棱锥 $S-A B C$ 中, $S B=S C=A B=A C=B C=4, S A=2 \sqrt{3}$, 则异面直线 $S B$ 与 $A C$ 所成角的余弦值是
$\text{A.}$ $\frac{1}{8}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{8}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{4}$
正多面体也称柏拉图立体, 被誉为最有规律的立体结构, 是所有面都只由一种正多边形构成的多面体 (各面都是全等的正多边形）。数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。如图, 已知一个正八面体 $A B C D E F$ 的棱长为 $2, M, N$ 分别为棱 $A D, A C$ 的中点, 则直线 $B N$ 和 $F M$ 夹角的余弦值为
$\text{A.}$ $\frac{5}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{11}}{6}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{21}}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{15}}{6}$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
已知正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的边长为 $2, M$ 为 $C C_1$ 的中点, $P$ 为侧面 $B C C_1 B_1$ 上的动点, 且满足 $A M / /$ 平面 $A_1 B P$ ，则下列结论正确的是（）
$\text{A.}$ $A M \perp B_1 M$
$\text{B.}$ $C D_1 / /$ 平面 $A_1 B P$
$\text{C.}$ $A M$ 与 $A_1 B_1$ 所成角的余弦值为 $\frac{2}{3}$
$\text{D.}$ 动点 $P$ 的轨迹长为 $\frac{2 \sqrt{13}}{3}$
如图, 在长方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $A B=B B_1=2 B C=4, M, N$ 分别为棱 $A_1 D_1, A A_1$ 的中点, 则下列结论正确的是（）
$\text{A.}$ $M N_{/ /}$平面 $A B C_1$
$\text{B.}$ $B_1 D \perp$ 平面 $C M N$
$\text{C.}$ 异面直线 $C N$ 和 $A B$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ 若 $P$ 为线段 $A_1 C_1$ 上的动点, 则点 $P$ 到平面 $C M N$ 的距离不是定值
如图, 已知二面角 $\alpha-l-\beta$ 的棱 $l$ 上有 $A, B$ 两点, $C \in \alpha, A C \perp l$, $D \in \beta, B D \perp l$, 且 $A C=A B=B D=1$, 则下列说法正确的是 ( )
$\text{A.}$ $\overrightarrow{C D} \cdot \overrightarrow{A B}=1$
$\text{B.}$ 当二面角 $\alpha-l-\beta$ 的大小为 $60^{\circ}$ 时, $C D$ 与平面 $\beta$ 所成的角为 $30^{\circ}$
$\text{C.}$ 若 $C D=\sqrt{3}$, 则四面体 $A B C D$ 的体积为 $\frac{1}{12}$
$\text{D.}$ 若 $C D=\sqrt{2}$, 则二面角 $C-B D-A$ 的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$
在棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $E, F$ 分别为 $A B, B C$ 的中点, 则 ( )
$\text{A.}$ 异面直线 $D D_1$ 与 $B_1 F$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\text{B.}$ 点 $P$ 为正方形 $A_1 B_1 C_1 D_1$ 内一点, 当 $D P \|$ 平面 $B_1 E F$ 时, $D P$ 的最小值为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ 过点 $D_1, E, F$ 的平面截正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 所得的截面周长为 $2 \sqrt{13}+\sqrt{2}$
$\text{D.}$ 当三棱锥 $B_1-B E F$ 的所有顶点都在球 $O$ 的表面上时, 球 $O$ 的表面积为 $6 \pi$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
点 $A(2,1,1)$ 是直线 $l$ 上一点, $\stackrel{1}{a}=(1,0,0)$ 是直线 $l$ 的一个方向向量, 则点 $P(1,2,0)$ 到直线 $l$ 的距离是
如图, 在棱长为 4 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $E$ 为棱 $B C$ 的中点, $P$ 是底面 $A B C D$ 内的一点 (包含边界), 且 $B_1 P \perp D_1 E$, 则线段 $B_1 P$ 的长度的取值范围是
如图是一坐山峰的示意图, 山峰大致呈圆锥形, 峰底呈圆形, 其半径为 $1_{\mathrm{km}}$, 峰底 $A$ 到峰顶 $S$ 的距离为 $4_{\mathrm{km}}$, $B$ 是山坡 $S A$ 的中点. 为了发展当地旅游业, 现要建设一条从 $A$ 到 $B$ 的环山观光公路, 当公路长度最短时, 公路距山顶的最近距离为 $\qquad$ $\frac{4 \sqrt{5}}{5} \mathrm{~km}$
如图, $A B$ 为圆柱下底面圆 $O$ 的直径, $C$ 是下底面圆周上一点, 已知 $\angle A O C=\frac{\pi}{3}, O A=2$, 圆柱的高为 5 . 若点 $D$ 在圆柱表面上运动, 且满足 $B C \perp A D$, 则点 $D$ 的轨迹所围成图形的面积为
