【20584】 【 2025年全国硕士研究生入学考试(数学一)第一轮模拟考试冲刺卷】 解答题 (1) $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵. $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 是 $A$ 的特征值, $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n$ 是 $A$ 的分别对应于 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 的标准正交特征向量. 证明 $A$ 可表示成 $n$ 个秩为 1 的实对称矩阵的和; (2) 设 $A=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 4 \\ -1 & 3 & -1 \\ 4 & -1 & 0\end{array}\right]$, 将 $A$ 表示成三个秩为 1 的实对称矩阵的和.

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【20583】 【 2025年全国硕士研究生入学考试(数学一)第一轮模拟考试冲刺卷】 解答题 设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} u_n(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$, 其中 $a_0=0, a_1=1$, 且满足 $\frac{1}{n+2} a_{n+2}=\frac{2}{n(n+1)} a_n$, 求 (1) 级数的收敛域; (2) 幂级数的和函数 $S(x)$.

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【20582】 【 2025年全国硕士研究生入学考试(数学一)第一轮模拟考试冲刺卷】 解答题 计算曲面积分 $I=\iint_S\left(x^3+z^2\right) d y d z+\left(y^3+x^2\right) d z d x+\left(z^3+y^2\right) d x d y$, 其中 $S$ 为上半球面 $z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$, 上侧为正.

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【20581】 【 2025年全国硕士研究生入学考试(数学一)第一轮模拟考试冲刺卷】 解答题 设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导, $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}<1$ 且 $\int_0^1 f(x) d x>\frac{1}{2}$. 证明： (1) 存在 $\xi \in(0,+\infty)$, 使得 $f(\xi)=\xi$; (2) 存在与 (1) 中 $\xi$ 相异的点 $\eta \in(0,+\infty)$, 使得 $f^{\prime}(\eta)=1$.

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【20580】 【 2025年全国硕士研究生入学考试(数学一)第一轮模拟考试冲刺卷】 解答题 设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足: $x_1=2, x_{n+1}=\frac{x_n^2}{1-x_n+x_n^2}(n=1,2, \cdots)$ (1) 证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在, 并求其值; (2) 求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(\frac{1}{x_1}-1\right)^2+\left(\frac{1}{x_2}-1\right)^2+\cdots+\left(\frac{1}{x_n}-1\right)^2\right]$.

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【20579】 【 2025年全国硕士研究生入学考试(数学一)第一轮模拟考试冲刺卷】 填空题 若 $(X, Y)$ 服从二维正态分布 $N(1,2 ; 1,4 ; 0.5)$, 则 $\operatorname{Cov}\left(X-1, \frac{Y-2}{2}\right)=$

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【20578】 【 2025年全国硕士研究生入学考试(数学一)第一轮模拟考试冲刺卷】 填空题 设 $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 0 \\ 8 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5\end{array}\right], B=(E-A)(E+A)^{-1}$, 则 $(B+E)^{-1}=$

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【20577】 【 2025年全国硕士研究生入学考试(数学一)第一轮模拟考试冲刺卷】 填空题 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{2 n} \frac{i-1}{n^3} \sin \left(\frac{\pi i}{n}\right) \cdot \sqrt{1-\sin \frac{2 \pi j}{n}}=$

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【20576】 【 2025年全国硕士研究生入学考试(数学一)第一轮模拟考试冲刺卷】 填空题 已知 $f(a+h)=f(a)+f^{\prime}(a) h+\frac{f^{\prime \prime}(a)}{2} h^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!} h^n+\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{(n+1)!} h^{n+1}(0<\theta<1)$,若 $f^{(n+2)}(x)$ 连续, 且 $f^{(n+2)}(x) \neq 0$, 则 $\lim _{h \rightarrow 0} \theta=$

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【20575】 【 2025年全国硕士研究生入学考试(数学一)第一轮模拟考试冲刺卷】 填空题 $\int_0^\pi \frac{1}{2+\tan ^2 x} d x=$

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